算子空间中几类映射空间的局部理论

(1) In this project we first introduce and investigate the injectivity, local reflexivity, exactness and nuclearity in the systems of four important mapping spaces (completely nuclear mapping spaces, completely integral mapping spaces, completely 1-summing mapping spaces and column Hilbert space factorable mapping spaces) in operator spaces;.(2) In the second part of this project we will investigate the relationship between the local properties of the discrete group G and its group C*-algebra;.(3) About twenty years ago, Kirchberg conjectured that the local reflexivity and exactness are equivalent for C*-algebras. By use of results in the first part, we will study this conjecture in these systems of mapping spaces;.(4) In the fourth part of this project, we want to study the local lifting property (LLP) and the weak expectation property (WEP) for C*-algebras in these systems of mapping spaces. Since Kirchberg’s another famous QWEP conjecture is equivalent to LLP=>WEP, we will investigate QWEP conjecture in these systems..Local theory of mapping spaces is a new research topic which is introduced by the applicant. Results in these areas will be pioneering and interesting.

（1）本项目首先提出并致力于研究在算子空间中四类重要映射空间（完全原子映射空间、完全可积映射空间、完全1-可和映射空间和列Hilbert空间可分解映射空间）范畴中的内射性、局部自反性、正合性和原子性；.（2）第二个研究内容是探讨离散群G的性质与群C*-代数在各类映射空间范畴中局部性质之间的关系；.（3）Kirchberg在上世纪九十年代提出猜想：对C*-代数，正合性是否等价于局部自反性？至今没有实质性突破。本项目第三个目标是利用第一部分的研究成果来研究在四类映射空间范畴下的Kirchberg猜想；.（4）本项目的第四个研究内容是C*-代数在四类映射空间范畴下的LLP和WEP。由于算子代数中著名的QWEP猜想等价于对C*-代数，LLP=>WEP。我们将探索在新框架下的QWEP猜想。.项目申请人提出的映射空间范畴下的局部理论是算子空间中全新的研究方向，这方面的研究成果将是开创性且引人入胜。

算子空间作为非交换Banach空间理论,它是Banach空间理论和-代数理论的融合。算子空间的局部理论处于算子空间理论的中心地位，几乎包括了算子空间的所有重要概念，如局部自反性、正合性、原子性等。我们在本项目中首先引入映射空间的局部理论这一全新的研究方向。我们基本理解了几类主要映射空间的局部性质，如下获得结论：.(a )Hilbert空间可分解映射空间的局部理论: 我们在Hilbert空间可分解映射空间范畴下引入了内射性、正合性、局部自反性和原子性。证明了任意对偶算子空间在该范畴下都是内射的；在该范畴下正合性和原子性等价；由此得到在该范畴下的KIRCHBERG猜想是不成立的，即存在C*-代数是局部自反但不是正合的。.(b) 完全可积映射空间的局部理论: 我们在完全可积映射空间范畴下引入了内射性、正合性、局部自反性和原子性。证明了任意有限维算子空间在该范畴下都是内射的；在该范畴下复数域C是唯一的原子算子空间以及唯一的正合算子空间；由此得到在该范畴下的KIRCHBERG猜想和QWEP猜想都不成立。. (c) 完全1-可和映射空间的局部理论：我们在完全1-可和映射空间范畴下引入了原子性。主要证明了在该范畴下复数域C是唯一的原子算子空间。