几类Finsler度量的若干曲率性质研究

This project studies several classes of Finsler metrics with important and special curvaure propertirs, to show the geometrical and topological structures and their relations on Finsler spaces. It will study several curvature reversibilities of Finsler metrics; extend the studies on Hilbert's Fourth Problem by characterizing and classifying some classes of Douglas and projectively flat singular Finsler metrics; study the classification of certain Finsler metrics, especially Randers metrics, square metrics and Kropina metrics, of scalar flag curvature, and further discuss the local and global structures of such metrics; study the existence and solurions of conformal vectors in some special Finsler spcaces and some applications of conformal vectors in related problems. The Finlser metrics studied in this project, such as Randers metrics and Kropina metrics, are closely related with physics and other subjects. In this project, the research content, methods and measures are original and unique, and the research attaches importance to deepening the studies of Finsler geometry and its applications in related fields.

本项目研究几类具有重要而独特曲率性质的Finsler度量，以揭示Finsler空间的几何结构与拓扑结构及其相关性。拟研究Finlser度量的几种曲率对称性；拟研究某类奇异Douglas度量及奇异射影平坦度量的分类，拓展对Hilbert第四问题的研究；拟研究具标量旗曲率的度量，特别是Randers度量、平方度量及Kropina度量的分类，并讨论它们的局部结构与整体结构；拟研究某些特殊Finsler空间中共形向量场的存在性及其在相关研究中的应用。本项目研究中的Finsler度量，比如Randers度量与Kropina度量等，与物理学等学科紧密相联；并且该项目的研究内容，研究方法与手段都具有独特的创新性，对促进Finsler几何的深入理论研究及相关学科的应用研究都具有重要的意义。

本项目研究几类具有重要而特殊曲率性质的Finsler度量。计划研究的主要内容包括：Finlser度量的几种曲率对称性；某类奇异Douglas度量及奇异射影平坦度量的分类；具标量旗曲率的度量（特别是Randers度量、平方度量及Kropina度量）的局部结构与整体结构；某些特殊Finsler空间中共形向量场的刻画及其局部结构与整体结构。经过四年的研究，基本达成了研究目标，主要结果包括：获得一类本质的具迷向S-曲率的二维Finsler度量，并给出了其局部构造；刻画了一类Einstein对称的Finsler度量，并给出了其中的Einstein平方根度量的局部构造；刻画和分类了一类奇异Douglas度量及奇异射影平坦的Finsler度量；证明了一类度量的标量旗曲率特性与射影平坦特性的等价性；系统研究了具标量旗曲率的Kropina度量的刻画方程及若干例子构造方法；给出了一类完备且射影平坦度量的分类，并获得了它们在球面上的旗曲率与测地线估计；刻画与分类了一类Finsler空间中的共形向量场，并获得了在一定曲率条件下共形向量场的位似性。