关于Banach空间中拟共形映射一些有关的几何性质的研究

This project mainly studies on the following two aspects. .(1) Properties of John domains, uniform domains: In 1989, Heinonen raised the conjecture about whether the quasihyperbolic geodesics are cone arcs or not in John domains which quasiconformally equivalent to the unit ball in R^n. We will work on this problem in Banach spaces by using the properties of quasigeodesics in John domain. Some applications of the obtained results are also planned to be given. In addition, we will study some geometric properties of John domains and uniform domains, such as removability and decomposition properties..(2) Freely quasiconformal (FQC) mappings in Banach spaces: As the generalization of quasiconformal mappings, by using the quasihyperbolic metric, Vaisala defines the FQC mappings in Banach spaces, and some open problems are also raised, among which we will focus on the following one: quasisymmetric extension properties of FQC mappings. We will study this by analysis and constructions, and some applications of the obtained result will be considered.

本项目主要研究以下内容：（1）John域与一致域的性质：1989年，Heinonen提出关于欧氏空间中拟共形等价于球的John域中的拟双曲测地线是否是cone曲线这一猜测。我们将利用John域中拟近测地线的性质在Banach空间中来讨论这个问题，并给出应用。另外，我们将研究Banach空间中John域、一致域的一些几何性质，例如可去性、可分解性等。.（2）Banach空间上的自由拟共形映射（FQC）映射：作为拟共形映射的推广，Vaisala利用拟双曲度量定义了Banach空间上的FQC映射，并提出了一些公开问题。我们主要研究其中一个：关于FQC映射的拟对称延拓性质。我们计划通过分析和构造的方法来展开讨论，并给出应用。

项目“关于Banach空间中拟共形映射一些有关的几何性质的研究（No. 11426220）”顺利完成了拟定的研究计划。主要工作如下：（一）通过构造三个反例以及利用一致域与John域的几何性质解决了1989年《Rev. Math. Iber.》上提出的一个公开问题，完整的回答了Heinonen的关于John域的拟共形不变性的公开问题，并作为应用讨论了拟共形映射的拟对称性质。（二）通过拟测地线的性质以及高维空间中John域的几何性质讨论了John域的稳定性，作为应用，得到了内一致域稳定性的相关结果。.总之，在该项目的资助下在国外SCI刊物上发表了学术论文两篇，分别发表在《Math. Ann.》与《Filomat》上。