可压缩流体的渐近极限问题与不稳定性理论

可压缩流体动力学方程的研究，一直是偏微分方程数学理论和数值计算中最热门的前沿领域之一。当方程中的某些参数，如粘性系数和马赫数，趋于零的时候，方程的解通常会有奇异行为，如边界层效应和高频扰动声波。这些在数学物理上是很关心和很困难的问题。本项目将要研究存在物理边界的时候，可压缩Navier-Stokes方程或者其他流体动力学方程中马赫数趋于零和同时伴随粘性系数等参数同时趋于零时的奇异极限问题的数学理论以及相关的计算分析。另外，本项目还将研究在外力作用下，分片光滑的可压缩粘性流体或者其他流体（如磁流体和辐射流体）的Rayleigh-Taylor不稳定性。对于可压缩流体而言，这种稳定性在偏微分理论上的研究还是崭新而且非常有挑战性的课题。

可压缩流体力学方程组的研究一直是偏微分方程理论分析和数值分析中最重要的方向之一。当方程组中的某些物理参数（如马赫数、粘性系数）趋于零的时候，方程组的解通常会有奇异性，对于验证各种流体模型之间的渐近极限关系带来很大的困难。这些研究在数学物理上是很有挑战性的课题。本项目证明了三维有界光滑区域中非等熵Navier-Stokes方程（热传导系数非负）在短时间内的零马赫数极限问题，即可压缩方程组的强解当马赫数趋于零的时候收敛到相应的三维不可压缩Navier-Stokes方程组的强解。我们也证明了在三维有界区域中，等熵的可压缩Navier-Stokes方程在滑动边界条件下的整体强解在时间段[0,+∞)内的零马赫数极限。另外，我们通过验证不可压缩极限的方法，得到关于高维（二、三维）等熵粘弹性流体的Oldroyd-B方程组初边值问题的局部强解的存在性和唯一性。此外，本项目还用粘性消失极限的方法研究了一维双曲守恒律方程的激波解的最优控制问题的稳定性，证明了当人工粘性系数趋于零的时候，粘性最优控制问题，和它的线性化问题，及后者的对偶问题的解分别会以一定速率收敛到相应的无粘性问题的解。因此，我们证明了在这些小物理参数的极限过程中，可压缩流体方程组的解是渐近稳定的；同时，我们也对可压缩流体方程组的不稳定性进行了一定的探讨。