定常可压缩 Euler 方程解的适定性与流体极限问题研究

The steady compressible Euler equations are to describe the motion of ideal fluid flows in the steady state, and their well-posedness problems and the fluid dynamic limits problems are the research emphasis in the field of conservation law systems. Due the equations are the elliptic-hyperbolic composite-mixed type, the classical partial differential equation theories could not be applied. ..This project will mainly concern the following: the well-posedness of subsonic flow with contact discontinuity in the general nozzle; the low Mach number limits problems on the steady compressible Euler flows in the fluid dynamic limits problems. The possible mathematical tools and methods are the nonlinear elliptic equation theory, the compensated compactness method, the phrase analysis method and the variation method. The applicant has made some progresses on the related fields of the project, which have been broadly cited in the area. For these studies, we will extend the well-posedness theory of steady compressible Euler equations and explore the deeper structures of the contact discontinuity solutions, and also get the asymptotic behavior of the solutions of low Mach limits (when the flows are sufficiently subsonic) on the steady compressible Euler equations. All these may introduce a series of new research methods on steady compressible Euler equations, and may provide the theoretical supports for the further study of the conservation law systems and understanding the practical problems on the compressible flows.

定常可压缩Euler方程主要描述在平衡状态下没有粘性影响的理想流体的运动，其解的适定性问题和流体极限问题，是守恒律组领域中倍受关注的前沿领域。由于方程属于双曲-椭圆混合/耦合的守恒律组，经典的偏微分方程理论不能直接应用于此方程的研究。.本项目将重点研究：在一般弯曲管道中，定常可压缩Euler 方程亚音速接触间断解的适定性问题和在流体极限中定常可压缩Euler方程解的低 Mach 数极限问题。拟采用非线性椭圆型方程理论、补偿列紧方法、相空间分析方法和变分法等方法开展研究。申请人在本项目的相关领域已作出了一些初步性工作，并被国内外专家多次引用。预期研究成果将拓展定常可压缩Euler方程解的适定性理论，丰富和发展对接触间断解结构的认知；了解当Mach数趋于零时，定常可压缩Euler方程解的渐进行为；给出一些定常可压缩 Euler方程新的研究方法；为守恒律组后续研究和解决实际应用问题提供理论支持。

项目背景：定常可压缩Euler方程是描述平衡状态下无粘性理想流体运动的方程，对于解的适定性和流体极限问题是流体力学的数学理论领域中倍受关注的前沿热点，对其的研究具有重要的数学理论和应用价值。..本项目在2017年1月至2019年12月执行期间中，主要开展了以下研究工作：.1. 对于定常可压缩Euler方程，证明了二维无穷长任意弯曲管道中的大旋光滑解和接触间断弱解的存在唯一性。这是对于高维定常可压缩Euler方程，在自由边值问题大强度解存在唯一性方面的第一个研究结果。.2. 证明了具有涡旋速度的柱对称定常可压缩Euler方程光滑解的适定性。此研究成果是对于定常可压缩Euler方程第一个具有两个非平凡旋度光滑解的适定性研究。.3. 对于翼形面问题，首次从数学上严格证明了定常可压缩Euler方程的无旋解的低Mach数极限收敛到定常不可压缩Euler方程的解。并且，证明了在此情况下，收敛速率快于此前对于非定常流体的研究。.4. 对无穷远状态为两个不同常数的情况，证明了一维可压缩非等熵Navier-Stokes方程的低Mach数极限。在数学上首次严格证明了可压缩Navier-Stokes方程存在著名物理学家J. Maxwell 提出的幽灵效应（ghost effect）。. .本项目的研究成果以论文形式体现，已有4篇论文发表在本领域著名权威期刊：《Advances in Mathematics》（2篇）、《SIAM Journal on Mathematical Analysis》、《Calculus of Variations and Partial Differential Equations》，另有2篇论文已接受，在准备发表阶段。..本项目的科学研究意义：研究成果拓展了定常可压缩Euler方程解的适定性理论，丰富和发展了对接触间断解结构的认知；明确了当Mach数趋于零时，可压缩流体方程解的渐近行为；发展了流体力学的数学理论；给出了一些可压缩流体方程新的研究方法；为可压缩流体方程后续研究和解决实际应用问题提供理论支持。