基于时滞惯性流形的非线性弹性壳结构动力屈曲研究

本项目通过理论研究、数值计算和实验分析等三方面，对冲击载荷作用下的非线性弹性壳结构进行动力学性质分析。首先，选择在冲击载荷作用下壳结构的非线性动力模型作为研究对象，对反映这些结构动力学的偏微分方程初、边值问题整体解的存在性、唯一性及渐近性进行理论分析，给出这些结构系统合理Galerkin截断的理论判据及有限维约化的条件。其次，选择较传统的Galerkin方法更先进的时滞惯性流形的非线性Galerkin方法作为切入点，通过把原始方程的解投影到由控制方程中线性算子的特征函数所张成的完备空间内, 并构造出无限维子空间内的动力行为与有限维子空间内的动力行为之间的耦合作用，在不同的屈曲模态下详细研究结构的动力屈曲情况，并结合冲击动力屈曲实验，建立计及应力波效应的动力屈曲准则，揭示出系统发生分叉和混沌运动的发展演化过程，从而完善冲击载荷作用下壳结构的非线性动力学行为理论。除科学意义外具有工程应用价值。

随着科技的发展和人们生活要求的不断提高，各类无穷维动力系统的非线性结构，如壳、板、梁等，在航空航天、造船、建筑和机械制造中，的应用十分普遍。因此非线性结构的动力稳定性的研究具有重要的理论价值和强烈的工程应用背景.. 长期以来，工程中对这些非线性结构演化发展过程进行动力学分析时，多采用Galerkin截断，即直接选取一个或几个模态将其化为有限维系统. 对其合理截断问题，无论国际还是国内多采用实验验证的方法，却未从理论上给出一般证明. 我们认为要从理论上解决合理Galerkin截断问题，就必须利用无穷维动力系统的约化理论.另一方面，高阶模态的舍去将对系统产生很大影响，这就可能使得系统的某些动力行为被丢失，从而导致一些奇怪现象难以用截断法解释.因此，对上述结构进行相关控制分析时，寻求适当的有限维反馈控制以控制整个系统的稳定性是关键。. 本项目一方面利用无穷约化理论从理论上解决合理Galerkin截断问题，即通过证明系统存在有限维整体吸引子与有限维惯性流形，得到无穷维动力系统可以约化为有限维动力系统的理论。另一方面，本项目选择较传统的Galerkin方法更先进的时滞惯性流形的非线性Galerkin方法作为切入点，通过把原始方程的解投影到由控制方程中线性算子的特征函数所张成的完备空间内，并构造出无限维子空间内的动力行为与有限维子空间内的动力行为之间的耦合作用，在不同的屈曲模态下，详细研究结构的动力屈曲情况。所得主要结果有: 通过各种实验建立了各类在冲击载荷作用下的非线性结构动力学模型，理论上利用Galerkin方法、临界点存在性定理、Darboux变换算法、压缩映像原理等证明了反映这些结构动力学的偏微分方程（组）整体解的存在唯一性及渐近性。进一步，通过所得结果及紧性、算子半群等理论，给出由偏微分方程（组）所确定的非自治无穷维动力系统存在有限维过程核截面的条件，从而证明系统一致吸引子的存在性；通过过程核截面的huasdoff维数估计方法对系统一致吸引子进行维数估计；研究了可控制系统在指定区域内发生退化分岔和可调控分岔的稳定性，并通过严格数学推导给出受控系统发生分岔的参数条件，利用时滞惯性流形思想的非线性Galerkin方法，对研究的无穷维动力系统进行各阶模态的数值模拟和分析。从而完善了非线性结构的动力学行为理论，除科学意义外，具有工程应用价值。