顶点算子代数及其表示

This project consists of three major parts: tensor decompositions of affine vertex operator algebras, W algebras， and classification of rational vertex operator algebras. With respect to the first part, our study will involve: 1. Schur-Weyl duality in tensor decompositions of affine vertex operator algebras; 2. Structures and representations of coset vertex operator algebras. In respect of W algebras, we will study two problems: 1. structures and representations of some W algebras; 2. characterizations of some W algebras. In the third part, we will continue our study on classification of CFT type rational vertex operator algebras of central charge 1.

本项目对顶点算子代数理论中的一些基本问题开展研究，重点研究三方面内容： 仿射顶点算子代数的张量积分解理论； 无穷维W代数理论的研究; 有理顶点算子代数的分类研究。在张量积分解方面，我们的研究将围绕以下两个方面展开：1. 张量积分解中的Schur-Weyl对偶；2. coset仿射顶点算子代数的结构和表示。在W代数的研究方面，我们的研究内容主要包括：1. 某些W代数的结构与表示；2. 某些W代数的唯一性刻画等。在有理顶点算子代数的分类方面，我们将完成central charge 等于1的CFT型有理顶点算子代数的分类工作。

本项目的主要研究内容包括：Virasoro顶点算子代数的张量范畴，仿射顶点算子代数的代数簇，Orbifold parafermion顶点算子代数的表示和fusion rules， 正交型仿射顶点算子代数的level-rank对偶，由$\sigma$型Ising向量生成的moonshine type顶点算子代数的刻画、扭的 Nappi-Witten仿射代数的Whittaker模等。我们证明了满足C1余有限的Virasoro顶点算子代数的模范畴实是一个张量范畴，并且在generic中心电荷情形下满足刚性（Adv Math. 2021)；我们证明了相应于一个有限维单李代数和非critical level的一个仿射顶点算子代数是泛的当且仅当其代数簇同构于单李代数的对偶，证实了一个长期的猜测，另外对仿射W-代数也得到了相应的研究结果(Journal de I'Ecole Polytechnique, Mathematiques, 2021)；我们给出了A_1型orbifold parafermion代数的不可约模的分类和构造及fusion rules(Israel J. Math. 2020, J. Algebra, 2020)；得到了正交型仿射顶点算子代数的level-rank对偶（Bull. Int. Math. Acad. Sin. 2019)；证明了由$\sigma$型Ising向量生成的单的moonshine type顶点算子代数是由其Griess代数唯一确定(Math. Z. 2019)；给出了扭的Nappi-Witten仿射代数的Whittaker模的刻画等(J. Algbra, 2020)。