顶点算子代数的扭正则表示理论

In this project we mainly study twisted regular representations of vertex operator algebras systematically and the contents can be divided into the following three parts: (1)We will introduce and study the twisted regular representations of vertex operator algebras, give a Peter-Weyl type decomposition for twisted regular representations. Furthermore, we will study the relationship between twisted regular representations and Huang-Lepowsky’s tensor product theory. (2)We shall study twisted regular representations and related induced modules by using the tools and methods in the theory of twisted representations of vertex operator algebras. We also will study Frenkel-Zhu’s theorem on fusion rules for twisted modules in terms of twisted regular representations. In a sequel we shall associate the twisted regular representations with trace functions, genus-zero and higher genus correlation functions. (3)We will introduce and study the twisted regular representations of Möbius quantum vertex algebras, give a Peter-Weyl type decomposition for twisted regular representations of Möbius quantum vertex algebras. Furthermore, we will study twisted tensor product theory of twisted modules for Möbius quantum vertex algebras.

本项目主要系统地研究顶点算子代数的扭正则表示理论，研究内容主要分成如下三个方面: (1)引入和研究顶点算子代数的扭正则表示，给出扭正则表示的Peter-Weyl分解. 进一步地, 将研究扭正则表示与Huang-Lepowsky的张量积理论之间的关系. (2)利用顶点算子代数扭表示中的工具和方法研究扭正则表示，并研究相关的诱导模；研究将顶点算子代数扭正则表示与对于扭模的Frenkel-Zhu关于fusion rule定理之间建立起联系；用扭正则表示研究迹函数和零亏格以及高亏格的相关函数；(3)研究Möbius量子顶点代数的扭正则表示，给出Möbius量子顶点代数扭正则表示的Peter-Weyl分解；研究Möbius量子顶点代数的扭模的扭张量积理论.

顶点算子代数的结构与表示理论的研究是李理论研究的重要方向，对于李代数及其表示理论、量子代数的结构和表示理论有着重要的意义。本项目的主要成果是：(1) 引入并研究了非局部顶点代数的twistor，研究了非局部顶点代数的phi-坐标模的扭张量积，用phi-坐标模twistor来统一扭张量积和L-R-扭张量积；(2) 研究了特征p>2一般域上的Virasoro代数和仿射顶点代数的不可约N-阶化模以及扭模；(3) 分类了一些与Virasoro代数相关的李(共形)代数的权模和非权模；给出了无限维李超代数上中间序列的不可约ZxZ-阶化模的分类。另外，还有一些关于李(超)代数的(超)双导子、左对称代数的研究结果。这些研究成果有利于顶点算子代数、无穷维李代数和量子群相应研究工作的深入开展，有很重要的理论价值。. 经过四年的研究工作，本面上项目发表含有项目标注论文26篇，其中SCI收录25篇，主要代表性论文发表在著名代数期刊Journal of Algebra (5篇)、Communications in Algebra (1篇)上，其他一些论文发表在Forum Mathematicum、Journal of Geometry and Physics以及International Journal of Mathematics等综合期刊上。