顶点算子代数的分类及表示

This is a proposal on the structure and representation theory of vertex operator algebras. The proposal consists of three main parts: (1) On the classifications of vertex operator algebras and superalgebras. We will consider the classification of extensions of a class of vertex operator algebras of affine type. The classification of rational vertex operator superalgebras of central charges less than 3/2 is also considered.(2) Structures of unitary vertex operator algebras. We will study the relations between unitary vertex operator algebras and rational vertex operator algebras, the inner derivations and automorphism groups of unitary vertex operator algebras are also considered. (3) Twisted modules of vertex operator algebras. We will consider the constructions of twisted modules of vertex operator algebras. In particular, the constructions of twisted modules of simple current extension vertex operator algebras are considered.The proposal concerns about key problems in the theory of vertex operator algebras. Solving these problems successfully will be important for the structure and representation theory of vertex operator algebras.

本课题研究顶点算子代数的结构与表示理论，主要内容包含以下三个方面：(1)有理顶点算子代数与超代数的分类。主要是研究一类仿射型顶点算子代数扩张的分类,以及中心荷小于3/2的有理顶点算子超代数的分类；(2)研究酉型顶点算子代数的结构。一方面研究酉型顶点算子代数与有理顶点算子代数之间的关系，另一方面我们也将研究酉型顶点算子代数的内导子以及自同构群；(3)顶点算子代数的扭模。主要是研究顶点算子代数扭模的构造，特别是simple current扩张顶点算子代数的扭模。以上涉及的均是顶点算子代数理论的核心问题，这些问题的成功解决对顶点算子代数的结构理论及表示理论至关重要。

本项目主要研究了顶点算子代数的结构和表示理论。主要内容包括两个方面：(1)有理顶点算子代数的分类；(2)仿射顶点算子超代数的C_2-余有限性及其模范畴。我们得到了以下两个结果：. (1)我和合作者构造了Virasoro顶点算子代数的四类模不变量对应的扩张，并证明了这些扩张的唯一性。我们期望这有助于解决effective中心荷小于1的有理顶点算子代数的分类。. (2)我和合作者研究了仿射顶点算子超代数的C_2-余有限性，我们证明了：设g是一个basic单李超代数，那么仿射顶点算子超代数L_g(k,0)是C_2-余有限的当且仅当g同构于osp(1|2n)且k是正整数。我们还证明了顶点算子超代数L_G(3)(1,0)的ordinary模范畴是半单的，但它不是C_2-余有限性的。作为一个应用，我们研究了顶点算子代数中的Zhu猜想。