奇异摄动问题DG方法一致超收敛与非线性偏微分方程多解高效算法研究

随着科学技术的发展，带小或大参数的奇异摄动问题及具有多解的非线性偏微分方程数值方法的研究越来越引起科学和工程界的注意。前者的主要困难是边界层或内部层现象，在拟一致网格下，经典的有限元法产生的解是振荡的，且一般情况下，边界层或内部层的位置无法确定。后者的主要困难是高Morse指标解的不稳定性，其对应物理系统中的不稳定平衡态或瞬时激发态，需要设计高效算法计算分布和结构都很复杂的多解，并发展相应的数学理论。本项目的目的是利用"局部加密等级网格+带权范数估计"的方法分析DG方法求解奇异摄动问题的一致收敛和超收敛性；克服样本点非对称分布带来的困难，发展适合DG方法的后处理重构技术，产生相应的自适应网格，求解一般线性和非线性奇异摄动问题。在"搜索延拓法+新外推多网格法+非线性方程组高效解法"的模式下，研究非线性偏微分方程多解的高效算法，并在"紧性+反证"的框架下，克服问题的非凸性，建立算法的理论基础。