计算非凸问题鞍点的新算法及其应用研究

This project is aimed to study some new algorithms for solving saddle points of nonconvex problems and their applications. A class of local minimax methods using virtual geometric objects (VGO-LMM) based on Goldstein-type and Wolfe-Powell-type inexact search rules will be proposed to solve the saddle points of nonlinear partial differential equations with/without constraint(s). The framework and theoretical foundation of large-scope convergent algorithms based on inexact search strategies for solving saddle points will be established. In terms of the VOG-LMM, we try to say “yes” to the question: “Are the line search strategies in optimization theory suitable for finding saddle points of nonconvex PDEs with some modification?” . Moreover, the internal connections and differences between two large-scope convergent algorithms in the literature, i.e., the augmented partial Newton method (APNM) and the local minimax method (LMM), will be explored. Both the advantages and disadvantages of them will be compared to develop some more advantageous large-scope convergent algorithms than either of them for finding saddle points . Furthermore, a constrained gentlest ascent dynamics (CGAD) will be designed with the help of the projected gradient and Lagrange multiplier for constrained saddle point problems. Its stability will be verified and its corresponding efficient numerical implementations based on some optimization technologies will be presented. Further, the algorithms above will be used to solve some important practical problems, e.g., the computation of excited states of Bose-Einstein condensates and the morphologies of critical nucleus in phenomenon of nucleation etc..

本项目研究计算非凸问题鞍点的新型算法及其应用。提出基于Goldstein和Wolfe-Powell型非精确搜索准则的虚拟几何对象局部极小极大方法（VGO-LMM），计算无约束和约束非线性偏微分方程鞍点解，构建基于非精确搜索策略的大范围收敛算法框架和理论分析体系，对“最优化理论中的线搜索策略能否经过适当改进以适用于偏微分方程非凸问题鞍点解的计算？”这一问题给出肯定回答；探索现有文献中两类大范围收敛算法——增广部分牛顿法（APNM）与局部极小极大方法（LMM）之间的内在联系与区别，分析各自的优劣，开发综合两者优势的新型鞍点计算方法；针对约束鞍点问题，设计基于投影梯度和Lagrange乘子的带约束最平缓上升动力系统（CGAD），证明其稳定性，并提出基于多种优化技术的高效数值实现方案。将上述算法应用于玻色-爱因斯坦凝聚激发态计算、成核现象中临界核形态预测等实际问题。

非凸问题广泛出现在现代科技的各个领域，其通常具有非线性特征或带有约束条件，且往往具有多个甚至无穷多个解 （临界点）。不稳定的临界点称为鞍点，在实际问题中表现为不稳定平衡态、激发态或过渡态。由于非凸问题鞍点通常无法准确得出，因此克服非线性、不稳定、多解等本质困难，设计稳定、高效且大范围收敛的算法来计算鞍点，愈来愈引起人们的关注，并取得了一些进展，但无论是从算法效率还是理论分析来看，该领域的研究仍任重而道远。另一方面，如何更加高效且稳定地计算带约束鞍点问题并发展相应的数学理论，也成为横亘在我们面前的重要课题。. 本项目研究计算非凸问题鞍点的几类新算法及其应用。首先提出基于两类非精确搜索准则的虚拟几何对象极小极大方法（VGO-LMM），并推广到带等式约束非线性问题鞍点解的计算；首次提出基于一般下降方向的计算非线性PDE鞍点解的LMM，为更加高效地计算鞍点解提供了广阔空间；进一步证明了上述VGO-LMM和LMM 算法的可行性和全局收敛性。利用VGO-LMM，从理论和计算上研究了一类半线性奇异摄动牛曼问题的多解，发现并证明了问题中决定非平凡正解是否存在的临界奇异摄动参数值，解决了PDE理论中一个重要问题。探索了增广部分牛顿法（APNM）与LMM的内在联系，设计了适用于计算非齐次问题的鞍点的APNM。提出了计算一般能量泛函在希尔伯特流形上的任意指标约束鞍点的约束最柔上升动力系统，建立了其约束守恒性及对非退化约束鞍点的线性渐近稳定性，并设计了高效数值实现方案。提出了计算BEC基态的带拉格朗日乘子归一化梯度流方法（NGF），其较经典的NGF更加稳健和高精度，且其误差与时间步长无关，适合于计算一般Spin-F BEC基态。提出了基于勒让德-伽列金谱方法的计算非线性PDE多解的搜索延拓法，并证明了其谱收敛性。本项目的研究为非线性PDE鞍点解的计算提供了高效、稳定且大范围收敛的算法。