非线性偏微分方程与奇异摄动问题的数值方法

在科学和工程计算中，我们经常碰到有多个解的非线性偏微分方程和带小（或大）参数的奇异摄动微分方程。前者往往有多个甚至无穷多个解，并且大部分解都是不稳定的，在物理系统中表现为不稳定平衡态或瞬时激发态；后者包括对流（反应）扩散方程，Reissner-Mindlin板问题等。以上这些问题是工程师和科学家目前最感兴趣的问题。经典的数值计算方法（如有限元、有限差分法等）在求解非线性偏微分方程时只能得到稳定解；而在求解奇异摄动问题时，当奇异参数较小时，有限元或有限差分法得到的解是振荡的。因此发展高效而稳定的数值计算方法来求解非线性偏微分方程的多个非稳定解以及奇异摄动问题的解极富挑战性。本项目的目的是结合间断伽列金（Galerkin）方法（DG）及所具有的超收敛性,在局部加密网格上来计算线性的奇异摄动问题的解，在此基础上，计算奇异和非奇异的非线性偏微分方程的多解。