O-U型过程与G-随机微分方程中若干渐近性质的研究

随机微分方程中渐近性质的研究已经成为概率统计中的热点问题，其为方程理论在实际中的应用提供了必要的理论依据。该项目首先考虑一些Ornstein-Uhlenbeck(O-U)型过程中未知参数估计的渐近性质问题。通过对过程轨道的连续或离散观测，我们拟运用拆分变量，偏差不等式及Girsanov变换等随机分析的工具得到其未知参数估计量的大偏差与中偏差原理，假设检验中两类错误的收敛性，偏差不等式，非一致的Berry-Esseen估计及矩的完全收敛性。其次，对由G-布朗运动驱动的G-OU过程中的未知参数，我们拟研究估计量的中心极限定理，大偏差，中偏差原理等极限性质。最后，我们将探讨G-扰动扩散方程及G-随机Volterra方程的解在扰动下的大偏差原理。我们希望通过该项目的研究，进一步揭示随机微分方程的统计规律性，为其理论研究及实际应用提供有力的工具。

随机微分方程中渐近性质的研究是概率统计中的热点问题。在本项目中，我们首先考虑了一些Ornstein-Uhlenbeck(O-U)型过程中未知参数估计的渐近性质问题。对于带线性漂移项的O-U过程及由可加分数布朗运动驱动的抛物型随机偏微分方程，利用测度变换及鞅极限理论等技巧，得到了漂移项中未知参数极大似然估计量(MLE)及轨道滤波估计量(TFE)的若干渐近性质，这包括渐近分布，Berry-Esseen 界，重对数律(LIL)及其精确收敛速度，中偏差原理等；借助Malliavin计算中的方法，考虑了二维O-U过程中参数估计量的中偏差原理。 其次，我们考虑一些O-U型过程中参数的假设检验问题。在过程平稳情形下，对于带线性漂移项Ornstein-Uhlenbeck过程及由柱状分数布朗运动驱动的抛物型随机偏微分方程，我们得到了对数似然率的大偏差与中偏差原理，并由此构造了两类错误都指数衰减到零的拒绝域。再次，我们研究了若干离散模型中参数估计的渐近性质问题。对一阶自回归过程，利用拆分变量技巧及过程二次泛函的偏差不等式，我们得到了其未知参数估计量重对数律及矩的完全收敛性；对由二阶自回归过程， 我们得到了参数估计量在近平稳与温和爆炸情况中的渐近分布，同时考虑得到了近平稳时的中偏差原理，并将相关结果应用于Durbin-Watson检验统计量；利用Delta方法，我们还得到了两参数瑞利分布中参数估计量的渐近分布，重对数律及中偏差原理等渐近性质。最后，由于时间仓促，G-随机微分方程的若干渐近性质的研究暂时还没有展开，希望在以后的研究中进行。该项目研究使得上述模型若干渐近限性质得以进一步的明确，并且为研究随机过程变化的统计规律提供有力的工具。