非线性高斯泛函的渐近性质及相关问题研究

The research on the asymptotic properties for nonlinear Gaussian functionals is always a hot topic in the field of stochastics processes and stochastic analysis. In this project, we will concentrate on the asymptotic properties for two classes of nonlinear Gaussian functionals, including (multidimensional) multiple Wiener-Ito integrals and the Groeneboom type process. Firstly, we will study (multidimensional) multiple Wiener-Ito integrals by using Malliavin calculus and Stein methods, as well as techniques in large deviation theory. The deviation inequalities, moderate deviation principles, Edgeworth expansion and Berry-Esseen bound, will be obtained. Secondly, for the Groeneboom type process, applying the methods of Bernstein inequality and moderate deviation principle for weakly mixing process, and the strong approximation theorem, we will investigate the associated moderate deviation priciples and the law of iterated logarithm. Finally, our above results will be applied to some interesting topics, for example, the drift parameter estimations in stochastic (partial) differential equations, moderate deviation principle related to Breuer-Major theorem, the power variations and similarity order for some self-similar processes ( fractional Brownian motion, Rosenblatt process and stochastic heat equation), and isotonic estimation.

非线性高斯泛函的渐近性质是随机过程与随机分析领域的研究热点。在本项目中，我们着重考虑(多维)多重Wiener-Itô积分、Groeneboom型过程等两类非线性高斯泛函的渐近性质及相关问题。首先，借助Malliavin分析与Stein方法、大偏差理论中的技巧，我们拟研究(多维)多重Wiener-Itô积分的偏差不等式、中偏差原理、Edgeworth展开及Berry-Esseen界；并将所得结果应用于研究随机(偏)微分方程中参数估计，Breuer-Major定理对应的中偏差原理，分数布朗运动、Rosenblatt过程及随机热方程等自相似过程幂变差与自相似参数估计。其次，利用弱混合过程的Bernstein不等式、Talagrand集中不等式、强逼近等方法，我们拟探讨Groeneboom型过程的中偏差原理与重对数律，并将所得结果应用于同调估计问题。

非线性高斯泛函的渐近性质是随机过程与随机分析领域的研究热点。在本项目中，我们着重考虑了多重Wiener-Ito积分、Groeneboom型过程等两类非线性高斯泛函的渐近性质及相关问题。首先，在正态与非正态收敛下，建立多重Wiener-Itô积分的偏差结果，并得到了(分数)Ornstein-Uhlenbeck型过程中相关积分泛函以及未知参数估计量的偏差不等式、Cramer-型中偏差、Berry-Esseen界等渐近性质；同时将相关想法应用于单位根模型以及自排斥扩散过程的研究之中。再者，通过分析Groeneboom型过程跳点以及边界点的偏差行为，给出了删失模型中非参数极大似然估计量(Grenander-型估计量)整体渐近性质，这包括一致范数以及L^p范数下的收敛速度及渐近分布。最后，综合运用再生过程技巧、弱收敛及指数鞅方法，分别考虑了若干模型中的中偏差问题，这包括反射Ornstein-Uhlenbeck过程中未知参数估计量、乘积泊松散射噪声过程、由高斯噪声驱动的随机热方程以及一类高斯过程Kac-Stroock弱逼近。该项目的研究使得上述模型中的渐近性质得到了进一步的刻画，并且为研究几类随机过程的统计规律提供了一些新的思路。