函数空间上Toeplitz算子的交换性和乘积问题的研究

In the past decades, a great progress has been made in the Toeplitz operator theory on Hardy space and Bergman space. In recent years, due to the need of the theoretical and practical problems, Fock space and harmonic Bergman space with the corresponding operator theory has gradually become research hotspots for experts and scholars. As an important manifestation of algebraic property, the commutativity and product problem of Toeplitz operators has been the key points of study on Toeplitz operator theory. Compared to Hardy space and Bergman space, the commutativity and product problem of Toeplitz operators on Fock space and harmonic Bergman space are harder since the function theory of these two spaces is more complicated. In this subject, we choose the Toeplitz operators on Fock space and harmonic Bergman space as our research object, the Berezin transform, Laplace operator, Mellin transform, etc., as tools, studying their commutativity and finite-product problem, to reveal the relationship between Toeplitz operators and their symbol functions. The study on this subject will further enrich and perfect the Toeplitz operator theory on function spaces.

Hardy空间、Bergman空间上的Toeplitz算子理论的研究在过去几十年里取得了巨大发展。近些年，由于理论和实际问题的需要，Fock空间和调和Bergman空间上的算子理论正成为人们的研究热点。Toeplitz算子的交换性及乘积问题是其代数性质的重要体现，因此一直是Toeplitz算子理论研究中的一个重点。与Hardy/Bergman空间相比较，由于Fock空间和调和Bergman空间的函数理论更复杂，因此其上Toeplitz算子的交换性及乘积问题更有难度。本课题拟以Fock空间及调和Bergman空间上的Toeplitz算子为研究对象，利用Berezin变换、Laplace算子、Mellin变换等工具研究其有限秩乘积问题以及交换性问题，揭示Toeplitz算子的性质和它的符号函数特性之间的关系。这些问题的研究将进一步丰富和完善函数空间上的Toeplitz算子理论。

函数空间上的算子理论是泛函分析的一个重要分支。特别是Hardy空间、Bergman空间等解析函数空间上的Toeplitz算子理论更是人们非常重视的课题。而除了解析函数空间，另一类值得关注的函数空间是调和函数空间。调和函数作为Laplace方程的解，在数学、物理和工程等许多领域都扮演着重要的角色。1992年，S. Axler, P. Bourdon和W. Ramey系统地讲述了调和函数理论，并引入了调和Hardy空间和调和Bergman空间的概念。在此之后，调和函数空间特别是调和Bergman空间及其上的算子理论开始被广泛研究并繁荣起来。然而两个调和函数的乘积不再是调和函数(除去某些平凡情形)的事实给调和Bergman空间及其上的算子理论研究增添了许多困难，许多在解析Bergman空间中可行的方法在这里失去了作用，这使得调和Bergman空间及其上的算子理论的研究并不如人们预期那样迅速发展。..本项目以调和Bergman空间上的Toeplitz算子为研究对象，利用Bergman投影、再生核、Mellin变换等工具研究其有限秩乘积问题以及交换性问题。首先，我们研究了单圆盘调和Bergman空间上Toeplitz算子的交换性及半交换性，证明了在某些约束条件下，两个Toeplitz算子只在平凡情形下可交换；此外，如果具有解析函数符号，两个Toeplitz算子半交换当且仅当它们的符号函数中至少有一个是常值的。其次，我们研究了单位球多重调和Bergman空间上的Toeplitz算子，对于符号函数是某种分别径向函数或者全纯多项式的Toeplitz算子，描述了与之交换的Toeplitz算子；对于若干Toeplitz算子的有限秩乘积问题，如果（除去至多一个）符号函数都是分别径向的，则该乘积必然是零。我们的结论深刻揭示了Toeplitz算子的性质和它的符号函数特性之间的关系。这些问题的研究进一步丰富和完善了函数空间上的Toeplitz算子理论。