Dirichlet空间上算子理论若干问题研究

解析函数空间上的算子理论与算子代数在大半个世纪以来产生了丰富的成果，促进了泛函分析与函数论的发展。本项目紧跟目前在Bergman 空间上相关课题所取得的成果，最先研究Dirichlet 空间上的相应问题。本项目主要研究Dirichlet 移位不变子空间的拟游荡子空间和由有限阶Blaschke积定义的解析 Toeplitz 算子的约化子空间问题：利用移位算子性质和再生核性质来研究不变子空间的拟游荡性和拟游荡子空间在该不变子空间中的稠密性等问题；利用Dirichlet 积分，有限阶Blaschke 积的各种转化以及换位代数理论刻画解析Toeplitz 算子的约化子空间和极小约化子空间等问题。

不变子空间问题是泛函分析线性算子理论中的著名问题，本项目以 Dirichlet 空间上移位算子的不变子空间的拟游荡性和有限 Blaschke 乘积符号的解析 Toeplitz 算子的约化子空间问题作为研究对象，得到以下两个重要结果: 第一、包括 Dirichlet 空间在内的一类再生解析函数空间上的移位算子的不变子空间具有拟游荡性； 第二、对于不超过 3 阶的有限 Blaschke 乘积符号的解析 Toeplitz 算子的约化子空间作了完全的分类。 对本项目的研究结果将进一步丰富不变子空间和约化子空间问题的研究成果，具有十分重要的理论价值。