自由费米子在数学物理中的一些应用

In this project we will study the duality between topological string and N=2 gauge theory. We can apply the infinite product of free fermion vertex operators to obtain the topological vertex and further compute the topological string amplitude in toric Calabi-Yau 3-fold. According to the correspondence between free fermion and 2d Yang-Mills gauge theory, we will generalize the application of free fermion to compute the partition function of 4d N=2 gauge theory. When we generalize both theories to refined topological string and Nekrasov instanton counting formulas respectively, we can still use free fermion to do the computation. Because these two theories have N=2 moduli spaces, we can use free fermion to study the wall-crossing phenomenon in the moduli space. Furthermore based on Bose-Fermi correspondence, the connection between free fermion and gauge theory comes from the relation of Heisenberg algebra of the boson and the algebra of the gauge group. We can develop the duality of string theroy and gauge theory from an algebra point of view which can be lifted to a category point of view, for example the categorification of Heisenberg algebra.

本项目主要研究近年来广泛受到关注的拓扑弦与N=2规范理论的对偶问题。我们将通过自由费米子的方法计算两个理论的配分函数、wall-crossing问题、以及从代数和范畴化的方法来研究其中包含的对称性。我们可以用自由费米子顶点算子的无穷乘积来计算拓扑顶点，从而给出拓扑弦在toric Calabi-Yau流形中振幅的结果。根据自由费米子与2维规范理论的对应，我们还要将费米子方法推广到4维N=2规范理论的配分函数的计算。当两个理论分别推广到精细拓扑弦和Nekrasov公式时，我们要将自由费米子作为工具研究它们。由于两个理论都具有N=2的模空间，我们可以用自由费米子来研究模空间的wall-crossing现象。根据玻色-费米对应，问题可以转化为玻色子的Heisenberg代数与规范群代数的关系，而且可以提升到范畴的层面上，即从Heisenberg代数范畴化来研究这种对偶性存在的根源。

顶点算子被应用于计算许多物理理论中,与配分函数和关联函数的计算有关。Okounkov，Reshetikhin与Vafa用它实现了MacMahon函数与Schur对称函数。这些函数被用于构造拓扑弦理论中的拓扑顶点。我们推广了这些顶点算子，构造了一系列算子，给出Macdonald函数，skew Macdonald函数的算子表示。而这些函数可用于计算精细拓扑顶点，Nekrasov配分函数等。顶点算子是通过Heisenberg代数生成元实现的，由于玻色-费米对应，费米子也可以被囊括进这个构造中。有时费米子更容易作用于物理态上，例如杨图态上。因此自由费米子在构造许多Fock模的时候非常有效。除了Heisenberg代数，我们还考虑了一些量子代数，例如椭圆丁-庵原代数的表示，计算顶点算子在这些表示上的作用。我们还发现许多物理体系的哈密尔顿量可以用成对的费米子来实现。在证明可积性时，它们可以简化很多运算。我们用自由费米子来研究一些凝聚态物理中出现的Calogero-Sutherland、Laughlin与Halperin体系。.范畴化的研究可以把一些不同的系统统一起来。以前我们知道对称函数非常有用，它刻画了一些物理理论的对称性和不变量。通过研究范畴理论，把Heisenberg代数提升成为一个2-范畴。顶点算子的指数展开的生成元用这个2-范畴的1-态射表示，把杨图态对应成为2-范畴的对象，代数关系式变成等价关系。因此我们研究了Heisenberg代数的范畴化。并发现对次数为0的2-态射的个数计数，即得到MacMahon函数。