零熵系统及其相关问题的研究

In ergodic theory and topological dynamics, lots of important open problems were solved for the systems with positive entropy, but remain open for the systems with zero entropy. The main theme of this project is to study systems with zero entropy and related problems. We try to study the systems with zero entropy via topological model, localization etc., and focus on Sarnak conjecture and the problem on pointwise multiple ergodic averages. To be precise, the following problems will be studied: find a more suitable topological model for an ergodic system with zero entropy; prove that Sarnak Conjecture holds for some distal systems and some systems with zero entropy and nice structure; study the problem on pointwise multiple ergodic averages for systems with zero entropy.

在遍历理论和拓扑动力系统的研究中，许多重要的问题在正熵的条件下取得了突破，但是对于零熵系统却没有本质进展。本项目主要研究目标是零熵动力系统，希望能通过动力系统模型理论、局部化、序列化等思想方法对零熵动力系统的精细结构和复杂性产生机制进行深入研究，并将其应用到 Sarnak 猜测、逐点收敛多重遍历平均问题等重要问题的研究中。具体的研究内容包括：对测度零熵系统得到更为精细的拓扑模型，使得对一些涉及零熵的问题可以同时运用测度与拓扑的方法进行研究；对一些更一般的distal 系统和一些具有较好结构的零熵系统证明 Sarnak 猜测；研究零熵系统的逐点收敛遍历平均问题等。

本项目主要研究涉及零熵系统及其相关问题等。主要研究成果包括：（1）在多重遍历平均是否逐点收敛问题上取得重要突破：对遍历distal系统和PID弱混合系统建立了多重遍历平均的逐点收敛定理。（2）研究了Sarnak猜测的C*代数版本，证明了对于零熵非交换环面产生的序列是几乎幂零的，从而证明了此类系统Sarnak猜测成立。（3）在保测系统的拓扑模型理论方面得到了一些进展。例如对于任何测度刚性的系统，证明了它能有一个拓扑一致刚性的实现；任何遍历系统均有一个弱混合极小点稠密全支撑的拓扑实现，也证明了任何遍历系统均有一个弱混合的仅有一个极小点作为它唯一不动点的全支撑的拓扑实现。（4）完全解决了Furstenberg在1967年关于不交性经典论文中提出的一个问题；彻底解决了Akin-Kolyada于2003年提出的关于Li-Yorke敏感的问题；系统研究了拓扑特征因子等。