遍历性相关理论研究以及随机流体力学方程遍历性研究

The theory about the ergodic of SDE and SPDE is one of the essential contents of stochastic analysis, owing to its widely using in mathematical finance and physics. This project will focus on the ergodic theory of SDE and SPDE and will divide into two parts. First, some theories about ergodic, mainly is the strong Feller property. If a process is strong Feller and irreducible, then there exists at most one invariant measure. In this part, it will conclude: (1) the convergence of functionals on Wiener space; (2) the research about the strong Feller and gradient estimate of SDE. Second, we will make some research on stochastic fluid equation such as 2D stochastic Navier-Stochastic equation and stochastic primitive equations of the large-scale ocean. For 2D SNS, we are concerned about the improving of the already known results. For the study of stochastic primitive equations of the large-scale ocean, we are concerned about new methods and new ideas.

随机微分方程以及随机偏微分方程遍历性研究, 是随机分析的一个基本内容, 其在金融数学，物理当中有着广泛的应用。 本项目包括如下两大部分： (一) 与强 Feller 性相关的理论研究。强Feller性加不可约性可以得到不变测度的唯一性，故强Feller 性的研究是SDE遍历性理论研究中的重要内容。该部分研究内容，主要包括 (1) Wiener空间上的随机变量族收敛性的研究：相关收敛性判定准则的改进; (2) 一般退化可乘噪声驱动的 SDE 的强 Feller 性及梯度估计研究。 (二) 随机流体力学方程遍历性的研究，主要包括二维随机Navier-Stokes方程与三维随机大尺度海洋流体方程的遍历性研究, 也就是研究其解的长时间行为。随机Navier-Stokes方程遍历性研究, 主要是侧重于已有结果的改善。 三维随机大尺度海洋流体方程的研究，则侧重于寻找新的研究方法与新的研究思路。

该项目主要进行了如下研究。① 在一定程度上改进了现有的马氏过程遍历性的一般理论,我们把经典的不可约条件进行了一定的减弱。② 对于退化可乘噪声驱动的二维随机Navier-Stokes方程，当噪声个数足够多时，我们证明了其解关于初值的连续性，不可约性和渐进强Feller性，并进一步得到了其指数遍历性。③ 对于经典的O-U过程，当经典的Hörmander条件不满足的时候，证明了其方程可以分成一个确定性方程和一个随机微分方程。