局部上同调与Cohen-Macaulay同调维数

Local cohomology is an important tool in algebraic geometry and in commutative algebra. A generalization of local cohomoloy was first introduced in the local case by Herzog and then continued by many authors. One basic theme of local cohomology theory is investigating vanishing and nonvanishing properties of (generalized) local cohomology. Our main aim in this project is to provide a new vanishing result of generalized local cohomology for modules with finite Cohen-Macaulay homological dimensions.As applications,we will obtain new characterizations of regular and Gorenstein rings, and we will try to solve Takahashi''s open question: Is a local ring Cohen-Macaulay if it admits a nonzero finitely generated module of finite Gorenstein injective dimension?

局部上同调是研究代数几何和交换代数非常重要的一个工具，广义局部上同调是由Herzog在局部环的条件下首先给出的，随之受到了许多学者的关注并推动了它的发展。局部上同调理论中的一个基本的主题是研究它的Vanishing和Nonvanishing性质。本项目的主要目标是为具有有限Cohen-Macaulay同调维数的模提供新的关于广义局部上同调的Vanishing定理。作为这个结论的应用，我们将给出正则环和Gorenstein环的新刻画，以及尝试去解决Takahashi提出的公开问题：如果R是一个交换Noether局部环且存在一个具有有限Gorenstein内射维数的非零有限生成模，那么R是否一定是Cohen-Macaulay环？

由著名数学家Grothendieck于1968年提出并初步建立的局部上同调理论已经成为了人们研究交换代数和代数几何问题的一个非常重要的工具。作为该理论中四大核心结论之一的Vanishing定理近年来受到了更多的关注。首先，项目负责人选择Cohen-Macaulay内射维数作为研究对象，证明了关于该类维数的Vanishing定理。进一步，我们运用这个结论得到了正则环和Gorenstein环的新刻画，同时还围绕R.Takahashi于2006年提出的一个公开问题提出了新的见解，其次，我们还研究了一种相对同调维数，即：F-Gorenstein维数，得到了有限维数猜想的一个等价命题。最后，项目负责人研究了Artin代数上Auslander置换的对偶情形，不仅在一般的结合环上得到了所谓对偶Auslander置换的许多同调性质，而且构造了一个例子来否定2012年Osaka J. Math.杂志上关于挠自由模的一个公开问题。