代数的Hochschild同调与同调维数

本项目为非交换代数、非交换几何、同调代数、符号计算的交叉领域。将采用谱序列、超复形塔、同调干扰、非交换Groebner基等方法，给出代数的Hochschild同调的一般表达式及一般算法，填补代数的Hochschild同调的通用计算方法的理论空白；通过完善代数的导出范畴的recollement理论，创建代数的模范畴的正合recollement理论，证明代数的（形式）光滑性为局部性质，推动非交换几何的发展；通过对导出单代数进行导出等价分类的思想方法，澄清代数的Hochschild同调维数与整体维数两个重要的同调不变量之间的本质关系；通过给出截面循环的同调刻画，揭示代数的Hochschild同调维数及整体维数与代数Gabriel箭图的组合特性之间的内在联系。既有新问题、新理论，又有新思想、新方法。在发展Hochschild同调自身理论的同时，促进同调代数、非交换几何、非交换代数等相关领域的发展。

代数的（Hochschild）（上）同调为代数表示论与同调代数的研究主题之一。本项目在代数的导出范畴的recollement、代数的Hochschild（上）同调与整体维数、代数的Hochschild（上）同调与Gabriel箭图的组合、代数的导出表示型、代数的稳定模范畴等方面取得进展。给出代数的导出范畴的recollement的张量积、反代数两种构造方法，揭示了代数的导出范畴的recollement与代数的Hochschild维数、Hochschild上同调之间的关系；引入三角范畴的n-recollement及n-导出单代数的概念，揭示了代数的导出范畴的n-recollement与代数的Cartan行列式、同调光滑性、Gorenstein性之间的关系，将“Cartan行列式猜想”约化到1-导出单代数，将“Gorenstein对称猜想”约化到2-导出单代数；给出导出离散n-导出单代数的分类，证明了导出离散代数的导出范畴的Jordan-Hoelder型定理。给出“Happel问题”及“Snashall-Solberg猜想”的更多反例；刻画了群代数的Hochschild上同调代数的Batalin-Vilkovisky结构。给出单模投射维数的双模刻画，提供了“Strong no loop conjecture”的双模方法，即“Igusa-Liu-Paquette定理”的简洁证明；利用Gabriel箭图中的平行路描述了Beilinson、Temperley-Lieb、tame Hecke、Fibonacci等代数的Hochschild上同调、Hochschild上同调环的cup积、Gerstenhaber括号积、生成元及关系。引入了（代数）复形的（整体）上同调长度、（整体）上同调宽度、（整体）上同调幅度等数值同调不变量，证明了代数封闭域上有限维代数的有界导出范畴的第一、第二Brauer-Thrall型定理；证明了Artin代数的有界导出范畴的第一Brauer-Thrall型定理；揭示了代数的导出表示型与cleaving函子之间的关系。决定了表示有限自入射代数的稳定模范畴中的单纯系统；证明了自入射代数的单纯系统不能包含齐次模；指出Morita型稳定等价不同于导出等价——不保持代数的张量积与代数的平凡扩张，从而部分地解决了Rickard的一个公开问题。