对偶Auslander转置及其诱导模类的同调性质研究

The Auslander-Reiten theory is an important part and theoretical basis of the representation theory of Artin algebras. The Auslander transpose is a powerful tool of the Auslander-Reiten theory. The Auslander transpose not only has been playing a significant role in the study of the representation theory of Artin algebras, but also in recent years finds its values in the area of Commutative algebra and Gorenstein homological algebra. This project aims at investigating the Auslander transpose and its induced classes of modules from the algebraic dual.viewpoint. The content includes: Characterizing Auslander and Bass class by using the dual k-torsionfree modules; Computing the dual k-torsionfree dimension and studying the projecive dimension of semidualizing modules over non-commutative rings;investigating an open problem about the k-torsionfree modules and the Wakamatsu tilting conjecture by Singular software.

Auslander-Reiten理论是代数表示论重要的组成部分和理论基础，而Auslander转置则是Auslander-Reiten理论得以建立的强有力工具。Auslander转置不仅在Artin代数表示论的研究中继续发挥着重要作用，而且近年来在交换代数和Gorenstein同调代数的研究中也体现了其价值。本项目旨在从代数对偶的观点来研究Auslander转置及其诱导模类的同调性质。研究的主要内容包括：利用对偶k-torsionfree模刻画Auslander和Bass类；计算对偶k-torsionfree同调维数，在非交换环中研究半对偶化模的投射维数；利用Singular代数软件研究有关k-torsionfree模的一个公开问题和Wakamatsu倾斜猜想。

Artin代数表示论是二十世纪七十年代初兴起的代数学的一个新的分支。它的基本内容是用模论的方法来研究一个代数的结构。而其中的Auslander-Reiten 理论不仅成为了Artin代数表示论重要的理论基础，而且对于代数几何与代数拓扑也有深刻的影响。利用Auslander 转置，M. Auslander 和I. Reiten在他们奠基性的工作中证明了Artin代数上有限生成模范畴中几乎可裂序列的存在性。透过该序列，人们可以对不可分解模之间的态射有更加清晰的了解和把握，进而获取更多模范畴的信息。另一方面，著名数学家Grothendieck在研究代数几何的上同调理论中引进了对偶化模的工具。从此以后，人们逐渐意识到(半)偶化模在交换代数和同调代数的研究中发挥地重要作用，而伴随着Gorenstein同调代数的兴起，半对偶化模理论更是成为了相对同调代数研究的一个新的方向。本项目借助非交换环上半对偶化模的理论，从范畴对偶的角度引进所谓的(伴随)对偶Auslander 转置，目的是探讨它在环与模的研究领域中良好的同调性质，并将所得的结果应用到一些重要猜想的研究中去。本项目研究的主要内容和得到的重要结果如下：1. 引入(伴随)对偶Auslander 转置的概念，简化Auslander类的原始刻画。我们证明了：任何一个Auslander类都是伴随无穷w-cotorsionfree模类和w的右无穷Tor-正交模类的交集。2. 利用模的Ext-余次数和Tor-余次数来研究著名的Wakamatsu倾斜猜想。假设R=S为Artin环，w是一个(R,S)半对偶化双模。如果w作为右S-模的投射维数至多是n并且对于任意有限表现的左S-模N, Tor_m^S(w,N)的Ext-余次数至多是n-1，那么w作为左R-模和右S-模的投射维数就是相等的。3. 在模范畴和导出范畴中来研究Bass维数。我们得到：W是一个右半倾斜模当且仅当R的Bass内射维数有限。进一步，我们还证明了一个同调有界复形的Bass内射维数有限当且仅当该复形在导出范畴中拟同构于一个特殊的复形。4. 给出w-平坦模的w-投射维数的上确界小于或等于有限性w-投射维数。该结果推广了Jensen在1970年Journal of algebra上发表的一个重要结论。