同调维数与Hopf代数作用

The project is based on classical homological theory and Hopf algebra as the starting point. Using cover and envelope theory and complex theory, we carry on research to calculate homological dimensions and Gorenstein dimensions of some algebra structures (for example, crossed products and weak smash products) under the action of a (weak) Hopf algebra. First of all, we shall construct some examples of weak Hopf algebras and some associative algebras with unit under the action of a (weak) Hopf algebra and give their Maschke-type theorems or duality theorems. Secondly, using cotorsion theories, we shall further search for some new cover classes and envelope classes and find a new way to calculate homological dimensions and Gorenstein dimensions; we shall further explore the relation between Gorenstein projective dimensions and Gorenstein flat dimensions and also explore (weak) Gorenstein global dimensions of some specific rings. Finally, we shall discuss the stability of covers and envelopes and the preserving property of homological dimensions and Gorenstein dimensions between a (weak) Hopf algebra and some algebra structures under its action; we shall also calculate their (weak) global dimensions and (weak) Gorenstein global dimensions.

本项目是以经典的同调理论和Hopf 代数为出发点，借助覆盖包络和复形理论开展研究，目的是计算(弱) Hopf 代数作用下一些代数结构(例如，交叉积与弱smash积)的同调维数和Gorenstein 维数。首先，我们将构造几个弱Hopf 代数的例子和(弱) Hopf代数作用下具有单位元的结合代数，并给出其Maschke 型定理或对偶定理。其次，借助余挠理论进一步寻找新的覆盖类与包络类，开辟计算同调维数和Gorenstein维数的新途径，进一步探索Gorenstein 投射维数与Gorenstein 平坦维数之间的关系和一些特定环的(弱) Gorenstein整体维数。最后，讨论(弱) Hopf 代数与其作用下一些代数结构之间覆盖与包络的稳定性以及同调维数和Gorenstein 维数的保持性，计算它们的(弱)整体维数和(弱)Gorenstein 整体维数。

同调维数不仅是研究群、环、模的重要工具，还是研究Hopf代数、量子群、弱Hopf代数、表示论等代数分支的有效工具。随着同调理论和方法的丰富与发展，相对同调代数被建立起来，它的核心内容是覆盖包络、Gorenstein模和Gorenstein维数。.本项目以经典同调理论和Hopf代数为出发点，借助覆盖包络和复形理论开展研究，计算了Hopf代数及其作用下的一些代数结构（例如，扭Smash积、L-R Smash积）的同调维数、表示维数和Gorenstein维数，给出了相关的对偶定理和Maschke型定理。借鉴环R上n-Gorenstein模的思想，引入了余代数C上n-Gorenstein内射余模、n-Gorenstein投射余模和n-Gorenstein余平坦余模（1≤n≤∞），讨论了它们的性质和关系，并用它们刻画了拟余Frobenius余代数。把Gorenstein投射模和Gorenstein内射模推广到更一般的(X,Y)-Gorenstein投射模和(X,Y)-Gorenstein内射模，并引入了n-(X,Y)-Gorenstein投射模和n-(X, Y)-Gorenstein内射模，讨论了这些模的性质和关系；当X或Y为投射模类、内射模类、平坦模类和FP-内射模类等特殊类时，考察了这些模的结构和性质，并用它们刻画了左完全环、左诺特环等特殊环。引入了半对偶化模S上的S-自由模和Gorenstein S-平坦模，研究了S-内射模、S-投射模和S-平坦模、S-自由模和Gorenstein S-平坦模以及S-Gorenstein平坦模的结构、性质和关系，构建了2个Foxby等价。探索了Gorenstein平坦维数和左右弱Gorenstein整体维数大小关系；探索了弱Hopf代数及其作用下的一些代数结构的对偶定理、同调维数和Maschke型定理。