分布参数系统的有限余维能控性

This project is addressed to developing a theory of finite codimensional controllability and applying it to study optimal control problems with state constraints for distributed parameter systems. The finite codimensionality condition may be used to derive nontrivial Pontryagin’s maximum principle. But it is usually complex and difficult to verify it. By establishing an equivalence between finite codimensional controllability and finite codimensionality condition, this condition may be reduced to some a priori estimates for partial differential equations, which are easily verified. The topics include: (1) Some equivalent criteria on finite codimensional controllability for abstract systems are presented; (2) Finite codimensional controllability of some distributed parameter systems are established; (3) Finite codimensional controllability of some stochastic evolution equations are established; (4) Some optimal control problems with endpoint state constraints for deterministic and stochastic evolution equations are studied.

本项目拟发展一套有限余维能控性理论，并应用它来研究具有状态约束的分布参数系统的最优控制问题。有限余维数条件可用于得到无限维系统非平凡的Pontryagin型最大值原理。但验证它一般是较为复杂和困难的。通过建立有限余维能控性与有限余维数条件的等价性，可将这一条件转化为一些易于验证的偏微分方程的先验估计。研究内容包括：（1）给出抽象系统有限余维能控性的等价判据；（2）建立一些分布参数系统的有限余维能控性；（3）建立一些随机发展方程的有限余维能控性；（4）研究确定性和随机发展方程具有端点状态约束的最优控制问题。

分布参数系统的结构理论是控制论的研究基本课题，在实际问题中具有广泛的应用背景。其中，能控性主要研究可行性问题，分析系统能否在控制的影响下达到或接近预期的目标。稳定性主要研究系统在测量误差和小扰动下的抗干扰性。反问题主要研究能否通过系统的部分观测信息决定其初值、系数和源项等信息。本项目主要研究了几类确定性和随机分布参数系统的能控性、稳定性和反问题，主要成果包括：1）提出了有限余维能控性的概念，并利用能控性的方法研究了带状态约束无穷维系统的最优控制问题，为验证（最优控制满足的Pontryagin型最大值原理中乘子非平凡的）有限余维数条件提供了新的方法；2）建立了单个控制下耦合随机抛物系统的能控性，发现了随机系统能控性不同于确定性问题的现象：验证确定性耦合抛物系统能控性的Kalman型秩条件在随机情形不再成立；3）建立了随机退化抛物系统的Carleman估计，并应用这些估计研究了系统的能控性和不灵敏控制的存在性，说明建立随机Carleman估计常用的加权恒等式方法和对偶方法不能相互替代，它们适用于具有不同类型系数的退化系统；4）研究了非线性抛物方程和非线性双曲方程的反问题，得到了系统的局部观测信息唯一决定方程中非线性项和初值的唯一性和条件稳定性结果；5）研究了退化和非退化抛物方程在非柱状区域上的稳定性和反馈镇定问题。项目负责人作为第一完成人获2019年教育部高等学校科学研究优秀成果奖（科学技术）二等奖。