随机拟微分算子及其在控制论中的应用

This project is addressed to developing a new approach to study stochastic partial differential equations and the relevant control problems. This approach is to establish the theory of stochastic pseudo-differential operators and the theory of stochastic micro-local analysis. We shall apply these results to study several typical problems in the structural theory of deterministic and stochastic distributed parameter systems. The main research topics include: (1) well-posedness and the propagation of singularities for solutions of some stochastic partial differential equations; (2) controllability of stochastic partial differential equations; (3) controllability of deterministic and stochastic partial differential equations with moving boundary; and (4) the stability problems for some deterministic and stochastic partial differential equations.

本项目拟发展一套新的研究随机偏微分方程及其控制问题的方法。这套方法是建立随机拟微分算子理论和随机微局部分析理论。我们将应用这些结果来研究确定性和随机分布参数系统结构理论中几类典型的问题。研究内容包括：（1）一些随机偏微分方程的适定性问题和解的奇性传播问题；（2）随机偏微分方程的能控性；（3）具有移动边界的确定性和随机偏微分方程的能控性；（4）一些确定性和随机偏微分方程的稳定性问题。

本项目研究了某些确定性和随机分布参数系统的控制和反问题。包括：1）确定性退化波方程和非柱状域上波方程的能控性；2）确定性非线性复Ginzburg-Landau方程的能控性和不灵敏控制问题；3）随机耦合抛物方程组的能控性；4）随机逐点估计及应用；5）随机对偶方法及应用；6）随机波方程的能观性问题；7）有限余维能控性及其应用；8）随机拟微分算子理论及其应用。.本项目发现了随机分布参数系统的结构理论不同于确定性问题的一些新现象。耦合随机抛物系统的能控性关于系数的小扰动不抗干扰。提出了研究随机Carleman估计的一个新方法，可由确定性问题已有的结果直接推得随机系统的估计。还引入了有限余维能控性的概念，这是研究一些带有状态约束最优控制问题必要条件的一个新方法。