Alexandrov空间上的Ricci曲率

This proposal is concerned with a geometric definition for lower Ricci curvature bounds on Alexandrov spaces. Alexandrov spaces are a class of geometric objects which allow the existence of singularities. This definition of lower Ricci curvature bounds is intruduced by the applicant and Prof. Xiping Zhu, and we have got some geometric and analyitic results under this Ricci condition.In this project we will emphasize on the analytic method in our research on both basic properties of this Ricci condition and its geometric and analytic consequences. We will study the following problems: (1) the equivalence of the new lower Ricci curvature bounds and Sturm-Lott-Villani's curvature-dimension condition; (2) Li-Yau estimates on complete non-compact Alexandrov spaces; (3) Levy-Gromov isoperimetric inequality on Alexandrov spaces; (4)the Lipschitz regularity of harmonic maps between Alexandrov spaces.

本项目将深入研究Alexandrov空间上一个几何定义的Ricci曲率下界。Alexandrov空间是允许存在奇异集的几何对象。这个几何定义的Ricci曲率下界是由本项目申请者和朱熹平教授联合给出，并且我们已经得到一些它的几何与分析推论。本项目中，我们将主要应用分析手段去深入研究它的基本性质和所蕴含的几何推论。我们拟研究如下问题： （1）这个新定义的Ricci曲率下界是否等价于Sturm-Lott-Villani所定义的曲率-维数条件；（2）完备非紧Alexandrov空间上热方程的Li-Yau估计；（3）Alexandrov空间上Levy-Gromov等周不等式； （4）Alexandrov空间之间的调和映射的Lipschitz连续性问题。

自上世纪90年代初，丘成桐，萧荫堂，Gromov等发现可以利用调和映射理论来研究李群表示的超刚性（superrigidity）问题。特别地，为了研究秩1半单李群上p-adic超刚性问题，Gromov-Schoen发展了一个从光滑流形到非正曲率Alexandrov空间的调和映射理论。 1997年，林芳华和Jost独立地开展了Alexandrov空间之间的调和映射研究，并证明从曲率有下界Alexandrov空间到非正曲率Alexandrov空间的能量极小映射具有Holder正则性。据此，林芳华提出猜测：从曲率有下界Alexandrov空间到非正曲率Alexandrov空间的能量极小映射具有局部 Lipschitz 正则性。我和朱熹平教授一起完全证明了这一猜测。. 热流是最基本的几何分析对象之一。在最近10年以来，由于 Sturm, Lott-Villani 等人的先驱性的工作, 使得在度量空间上，几何分析成为一个研究热点。许多经典的光滑流形上的结果，在非光滑空间上多有推广。我们在非光滑度量空间上的热流的研究，取得了进展。