流形上的典则结构及在几何拓扑中的应用

本申请项目属于现代微分几何中的几何分析领域，它主要利用分析工具研究流形（或更一般的Alexandrov空间）的几何结构、拓扑结构或复结构。当一个流形的几何形状具有足够的对称性时，此流形被称为具有典则（Canonical）结构。具备典则结构的流形通常能被完全分类，这样流形的全面分类问题归结为流形的典则分解问题。随着Hamilton-Perelman理论对三维闭流形典则分解的完成，如何对四维流形进行典则分解已提上日程。本申请项目的主要目的是试图通过适当形变和几何手术的深入分析来达到理解四维流形的几何、拓扑和理解四维时空的大范围结构。其间，我们拟研究几何分析与Gromov几何的内在联系，特别地将研究Alexandrov空间的几何结构。通过这些研究来达到对四维Ricci流及四维时空的奇点结构的理解。 同时我们还研究非Kaehler流形上的典则结构和复向量丛的典则结构问题。

本项目顺利完成了各方面的研究工作，并取得了重要的成果：利用Ricci flow系统研究了一类四维流形的几何与拓扑分类，这类流形容许正的迷向曲率。关于正的迷向曲率的紧致流形，著名数学家，Wolf 奖和Abel 奖获得者，M. Gromov 在1994年提出了基本群猜测，并且在2010年国际数学家大会一小时报告上著名数学家R. Schoen 进一步提出了更强的拓扑分类猜测。本项目的第一个重要进展是完全解决四维情形的Gromov 与 Schoen 的猜测。事实上我们对具有正的迷向曲率的四维紧致流形进行了完全的微分同胚意义下的分类。在此工作的基础之上，项目组成员合作深化和给出了张圣蓉等的共形球面定理的推广。 .该项目的第二个研究题目是Alexandrov空间的几何，这个是俄国人的传统优势项目，项目组从几何学发展的角度适时开展了Alexandrov空间上的几何分析研究，并取得了一些突破形的进展：得到了Alexandrov空间上的调和函数的梯度估计，特征值估计，以及分裂定理。.项目拓展研究了等距嵌入问题：证明任何高斯曲率具有负上界的单连通的曲面一定存在到三维 Minkowski 空间的光滑的等距嵌入。.本项目对欧氏空间中的平均凸（即平均曲率为正）的闭超曲面的平均曲率流进行的研究，盛为民与汪徐家证明了在第一次发生奇点时任何blow-up序列都子列收敛于一个凸解。并且存在只与维数n有关的常数k>0，任何平均凸的闭的超曲面的平均曲率流在第一次发生奇点时的任何规范化的blow-up极限流都是k-noncollapsing的。本项目对全纯丛上特殊Hermitian度量和联络及相关热流收敛性问题、复Monge-Ampere方程正则性估计及其应用等方面进行了研究。.本项目按计划在非凯勒复几何的典则度量的研究中取得了一些重要进展：傅吉祥与李骏和丘成桐合作，证明了三维Kahler Calabi-Yau流形经过锥形变换得到的三维非Kahler紧复流形上具有平衡度量，不具有pluriclosed度量。他们得到的度量在这种非Kahler复流形的几何的后续研究中起到非常重要的作用。