Alexandrov空间上的半凹函数及其在塌陷理论中的应用

本项目计划研究Alexandrov空间上的半凹函数等工具，并将其应用到黎曼几何中曲率有下界的塌陷理论中去。近年来，黎曼几何中的收敛与塌陷理论已经成为研究流形结构强有力的工具，而曲率有下界的塌陷理论还远未完善。我们通过对Alexandrov几何半凹函数的基础性理论研究，将为初步建立曲率有下界的塌陷理论提供重要工具，具有重要的理论意义和应用前景。我们研究如下三个问题：（1）运用Alexandrov空间研究曲率有下界的塌陷理论中的一些问题，如塌陷流形上幂零结构的存在性。（2）研究等变收敛到Alexandrov空间的稳定性问题，如等变收敛理论中的覆盖空间方法、质心方法等。（3）Alexandrov空间上半凹函数中的问题，如黎曼流形中半凹函数水平集。

项目以Alexandrov空间中一些未解决的问题为导向，综合运用等变收敛与塌陷理论，Alexandrov空间上的分析等工具，初步建立曲率只有下界的塌陷理论。 .具体研究内容为：（1）运用Alexandrov空间理论来研究黎曼流形曲率有下界的塌陷理论中的一些问题。（2）研究等变收敛到Alexandrov空间的稳定性问题，如等变收敛理论中的覆盖空间方法、质心方法等。（3）与Alexandrov空间上半凹函数有关的问题。.　　　我们的研究方法是，首先研究黎曼流形上等变的收敛与塌陷理论的工具，与这些工具在收敛与塌陷理论中的一些应用；并研究黎曼流形在某些特殊定义的度量下保持曲率有下界的塌陷。.　　　我们的研究结果如下：.　　　首先，我们研究了曲率有下界的塌陷理论的问题(1)，即黎曼流形上黎曼淹没度量的塌陷，得到了黎曼流形上的黎曼淹没度量的典则变分保持曲率有下界塌陷所满足的等价几何条件，故问题(1)在这种情况下也得到了初步解答。 其次，关于问题(2)，研究了等变收敛理论中的覆盖空间方法，并应用该工具构造了一些黎曼流形的覆盖空间。覆盖空间方法是从一个伪作用出发构造一个具有群作用的度量空间的方法。我们对于黎曼流形的有界连通开子集或局部紧的长度空间这两类伪作用，分别运用覆盖空间方法给出了相应的覆盖空间。另外，我们还给出了两个第一类伪作用的例子。其中，在满足直径、曲率条件的黎曼流形的例子中，我们运用指数提升邻域中的距离函数的半凹性质，验证了它满足第一类伪群作用的条件。这也是问题(3)的一个特殊情况。从而问题(2), (3)得到了初步解决。. 以上结果为研究黎曼流形曲率有下界的等变塌陷理论提供了良好的工具。.　　　下一步我们计划继续研究黎曼流形等变收敛时的稳定性，以及Alexandrov空间上的分析工具，并应用在研究黎曼流形曲率有下界塌陷理论中。.　　　对于曲率有下界塌陷的黎曼流形上T结构或幂零结构的存在性，由于极限Alexandrov空间上具有对称结构，即极限李群作用，我们只需证明这个同胚映射与群作用在弱的意义下共轭，即保持环作用轨道。因此进一步研究度量空间上共轭群作用的质心方法将会给这项研究提供重要帮助。　　　. 另外，覆盖空间方法以及度量空间上的分析工具对于研究曲率有下界的塌陷也会有重要作用。