具部分信息平均场时滞随机微分方程最优控制问题研究

The project is an intersect one of stochastic analysis, optimal control and stochastic delay differential equations, to study the optimal control problem of mean-field stochastic delay differential equations with partial information. The main problems of this project are as follows: Firstly, by virtue of the Malliavin calculus, the optimal control problem for mean-field stochastic delay differential equations with partial information and non-convex domain is investigated and the sufficient and necessary conditions are given; Secondly, a mean-field backward stochastic delay differential game is introduced to obtain the maximum principles for the follower and the leader when the partial information is general, and then we apply the theoretical results to the linear-quadratic optimal control problem and characterize the optimal feedback control and the solvability of the Riccati equations; Finally, in order to study a partially observed mean-field stochastic delay differential game under closed-loop information structure, we prove the equivalence between the closed-loop system for the leader and the new open-loop system and establish the stochastic maximum principles for the leader and the follower. The implementation of this research content will not only help to understand the influence of partial information and time- delay on optimal control of mean-field stochastic systems, but also develop the optimal control theory and its applications.

本项目是随机分析、最优控制和时滞随机微分方程的交叉课题，研究部分信息平均场时滞随机微分方程最优控制问题。主要是：首先，利用Mallavin计算研究非凸控制区域上，部分信息的平均场时滞随机微分方程最优控制问题，建立最优控制所满足的充分必要性条件；其次，研究部分信息为一般代数流，平均场倒向时滞随机微分对策，得到跟随者和领导者的最大值原理，并且将理论结果应用于线性二次最优控制问题并给出最优反馈控制及相应Riccati方程的可解性；最后，研究部分可观测闭环结构下的平均场时滞随机微分对策，证明领导者所面对闭环系统与新建开环系统之间的等价关系，建立领导者和跟随者的随机最大值原理。本项目研究内容的实现不仅有助于了解部分信息和时滞对平均场随机系统最优控制的影响，而且丰富最优控制理论和应用。

在项目执行过程中，研究内容以随机最优控制系统和趋化系统为主要研究方向。项目组成员阅读大量各类相关文献，在研究初期，参加国内一些学术交流活动，与各领域的专家学者交流。后期与其他学者合作，在如下几个问题上有了收获，正式发表了文章。其一，我们通过奇异值分解，建立了随机广义耦合Riccati方程解的存在性，作为应用我们将此结论应用到带马尔科夫跳的线性随机奇异系统，并得到最优控制的显式表达式。其二，我们考虑了具有间接信号吸收和逻辑型源的趋化性模型，在初始数据正则的假设下，证明了系统具有唯一且全局有界的经典解。另外，我们讨论解的渐近行为。其三，在具有光滑边界的有界区域中，在齐次Neumann边界条件下,通过两个刺激处理具有奇异敏感性的趋化系统,得到了系统全局经典解。其四，针对部分可观测的风险敏感平均场随机正倒向随机问分方程，通过使用Girsanov定理以及经典的凸变分技术，得到了两个风险敏感最大值原理,并且在凹性条件下,给出最大值原理的充分性条件。最后我们考虑了在二维有界区域中具有奇异灵敏度和信号产生的趋化系统,并证明了弱解的全局存在性。