t-设计及相关组合结构的存在性与构造

t-设计的存在性与构造是组合设计理论中的重要研究课题。有关2-设计的结果已经非常丰富，而当t≧3时，t-设计的构造非常困难，因此结果有限.本项目重点研究利用典型群理论和编码理论来给出构造ｔ-设计的有效方法：研究有限域上射影特殊线性群和射影一般线性群某些长度的特殊轨道类的分布，由此构造单纯３－设计并计算其参数；研究某些重要的二元码和四元码的支撑集和重量分布问题并由此给出构造t－设计的新方法；研究构造ｔ－设计的组合方法与有效算法。圈设计也是一类重要的组合结构，本项目还将研究构造圈设计的代数方法和组合方法以及圈设计在编码理论中的应用。

研究工作主要进展和所取得的成果:.本项目按照原计划进行, 共发表论文12篇, 已接收待发表论文1篇, 已完成正在审稿的论文3篇, 主要完成了以下几个方面的工作..1. 研究在射影特殊线性群PSL(2,2^n)作用下射影直线的一些特殊子集所在轨道的长,利用射影特殊线性群PSL(2,2^n)构造了区组长为d+1(此处d|2^n-1)的单纯3-设计, 并计算出其参数;.2. 通过对支撑数为7 的四元 Preparata 码的完全重量分布的研究, 给出了三个无穷系列的 3-设计并计算出了它们的参数, 证明了前两个系列3-设计的单纯性..3. 利用组合设计的方法构造出了长为{3,4,5}的完备删位纠错码.4. 关于Hamilton-Waterloo 问题的研究, 在2-因子为Hamilton 圈和C_{4k}-因子的情形, 得到完全图去掉一个1-因子所得图的2-因子分解存在的充分必要条件; 在分解为Hamilton圈和三角形因子的情形, 取得重要进展, 特别当n≡24 (mod 36)的情形, 给出了完整解答. .5. 关于圈长不相等时圈分解问题的研究, 给出了图Kn-H存在极大6圈填充设计存在的充分必要条件, 此处H为一个二正则子图, 或几乎二正则子图, 或一个生成森林. .6. 在项目计划之外, 我们还在组合计数理论中关于parking function和Tutte多项式相互关系的研究中,取得以下进展: 给出了长为n的不减preference sets数量的精确计数公式和递归关系; 通过在连通图G中生成树的集合上建立一个对合, 给出TG(1,-1)的一个组合解释.