光正交码的组合构造及相关设计的研究

光正交码是一类具备良好自相关性和互相关性的码，因此在光纤码分多址系统(OCDMA)中有着重要应用。本项目将探索自相关性和互相关性不等时一维和二维最优光正交码的组合构作，建立新的码类。其中，自相关性和互相关性不等时权重为3的二维最优光正交码以及权重为4的一维最优光正交码是研究的重点。同时，光正交码与循环设计有密切联系，循环设计是以循环群为自同构群的设计，它是一类十分重要的组合设计。本项目拟给出循环设计的一般构造方法，重点讨论区组大小为4的循环设计的直接构造方法，扩大循环设计的存在结果。其中包括对循环差族、循环可分组设计、完美差族等进行系统研究，改进这方面的已有存在性结果。

光正交码 (OOC) 是一类具备良好自相关性和互相关性的码，因此在光纤码分多址系统 (OCDMA) 中有着重要应用。当光正交码的码字个数达到最大时，称该光正交码为最优的。本项目探索了自相关性和互相关性不等时最优光正交码的存在性问题。给出了最优二维光正交码 (2-D OOC) 的直接构造和递归构造方法，确定了重量为 3 的二维光正交码达到最优时的码字个数的上界，建立了最优二维光正交码存在的一些无穷类。改进了一类重量为 4 的最优一维光正交码的码字个数的上界，并利用 good 差阵构造了一些新的码类。半循环可分组设计作为辅助设计，在光正交码的递归构造中发挥了重要的作用。借助完美差族、循环差族、严格循环可分组设计、成对平衡设计、网格可分组设计以及循环差阵之间的联系，给出了半循环带洞可分组设计的递归构造方法。利用 Skolem 序列、分圆类以及计算机搜索等工具，给出了小阶数设计的直接构造方法。证明了区组大小为 3 的半循环带洞可分组设计存在的充要条件，得到了一类循环带洞差阵的存在谱，扩大了半循环可分组设计的存在结果。