可分组t-设计及相关设计

The group divisible t-design is a generalization of the t-design. Group divisible 2-designs act as master designs in "Wilson's Fundamental Construction", while group divisible 3-designs play an important role in Hartman's fundamental construction for 3-wise balanced designs. The determination of the existence of such designs is a basic problem in design theory. For t≥3, not much is known because it is hard to construct them. Based on our previous work, we shall study the existence of group divisible t-designs, the minimal generating sets of three wise balanced design closed sets, Steiner quadruple systems with a point-regular automorphism group, with an alomost spanning block design, special overlarge sets of Steiner triple systems and ordered group divisible 3-designs for constant-composition codes recently. Such research problems have been received much attention. The progress of our research can promote the development of combinatorial designs.

可分组t-设计是t-设计的推广，可分组2-设计在“Wilson 基本构作法”中充当主导设计的角色，可分组3-设计在Hartman的3-平衡设计基本构作中起重要作用，确定可分组t-设计的存在性是当代组合设计中最基本的经典核心问题之一。当t≥3时, 由于难度很大，所以已知结果有限，有许多重要问题有待于研究解决。本项目拟研究可分组t-设计、3平衡设计闭集最小生成集、自同构群为交换群且对称的正则斯坦纳四元系、旋转斯坦四元系、具有几乎生成区组设计的斯坦纳四元系、可用于常重复合码的特殊三元系超大集与有向的可分组3-设计的构作方法和存在性。这些问题都是近些年国内外组合设计界关注的热点问题，对它们的研究有助于推动组合设计理论与应用的发展。

高强度的可分组设计包括其特殊情形斯坦纳系与正交阵列的构作方法与存在性随着2-设计理论的日渐成熟成为组合设计理论研究的核心，与信息科学包括编码理论、密码学相关的可分组设计的应用也是目前研究的热点。项目执行4年来，主要围绕高强度的可分组设计、斯坦纳四元系、正交阵列、填充设计的构作以及在编码密码、计算机试验的应用展开系统研究，取得了重要的进展，主要有: (1)彻底解决了Mills于1990年遗留的可分组3-设计即H-设计问题；(2)证明了存在交换群A-不变且对称的正则斯坦纳四元系当且仅当 v≡2, 4 (mod 6), A的每个元的阶不是8的倍数, 且对v的任意素因子p，存在对称循环的2p阶斯坦纳四元系，推广了前人循环群，Sylow 2-子群为循环群下的结论，基本解决了Hartman 和 Phelps 提出的一个BIBD嵌入到斯坦纳四元系的问题，建立一批新的双可分解斯坦纳四元系与色数为2的斯坦纳四元系；(3)建立新的Kirkman三元系大集、LR设计、Kirkman三元系超大集的构作方法和新无穷类，有力促进了Kirkman三元系大集相关课题进展，也建立了一类常重复合码的特殊斯坦纳三元系超大集构作法，运用Kuperberg，Lovett和Peled的概率方法给出一般强度，一般维数的子空间设计大集的渐进存在性结果；(4)运用差矩阵、生成矩阵建立了多批用于计算机试验的列正交强正交阵列，大大改进了因子数下界，运用可划分正交阵列给出了理想的(s,t,n)敲砸方案的等价刻画；(5)运用填充设计建立了带仲裁 (t, L)-重完美认证保密码和有保密性的c-分裂认证码与有鲁棒性的(2,2)-门陷方案；(6) 通过引入反向标识向量和双向标识向量，提出反向多重构造法和双向多重构造法，改进了子空间码的下界；(7) 运用有限域直接构造，解决了Nasr Esfahani等人提出的用于计算安全块密码预处理中的全或无变换三个公开问题。