迭代方法在形变不变性问题中的应用

Deformational invariance problem is one of the core topics in complex algebraic geometry. This application will focus on Siu's conjecture on Kahler version of deformational invariance of pluri-genera and try to approach it by two analytic methods. One is to combine the cyclic covering technique from algebraic geometry and iteration method developed in our previous research. Different from Ohsawa-Takegoshi extension theorem used in Siu's approach, this iteration method is a completely new extension method to deal with the extension problem for the holomorphic family of Kahler manifolds and to give rise to more geometric information by writing out explicit section extesion formula. The other one is by combining Li YI's Ohsawa-Takegoshi extension theorem for the Kahler family under some restrictions with Siu's approach, attempting to find a divisor to replace the ample divisor in Siu's approach. To complete this iteration precedure, we shall study carefully analytic deformations of holomorphic line bundles on Kahler manifolds and expect a partial resutlt on Siu's conjecture. Meanwhile, we study deformational invariance of Hodge numbers for Kahler manifolds and curvature formula of (higher) direct image sheaf also by this iteration.

形变不变性问题是复代数几何的核心研究课题之一，本申请将围绕萧荫堂提出的凯勒流形情形下多亏格的形变不变性猜想展开，将尝试用两种解析方法研究该猜想。第一种为结合代数几何中的循环覆盖技巧和我们之前系列研究中发展起来的迭代方法。不同于萧荫堂使用Ohsawa-Takegoshi延拓定理，这种迭代是一种全新的延拓方法，可用来处理范围更广的凯勒流形族情形，写出具体的截面延拓公式而得到更多几何信息。第二种是结合萧荫堂的思路利用Li YI的紧凯勒流形情形带条件的Ohsawa-Takegoshi延拓定理，寻找一个除子来代替萧荫堂思路中的ample除子。为了完成此迭代方法，我们具体研究了凯勒流形上全纯线丛的解析形变，得到了萧猜想的部分结果。同时，我们亦利用此方法研究了凯勒流形霍奇数的形变不变性和(更高)直接映像层的曲率公式。

为了研究形变理论中的延拓问题，我们引进了从复流形到其形变上的纯-型复微分形式的一个自然映射。这个映射推广了本人于刘克峰、杨晓奎最近合作工作中的一个延拓公式。作为直接推论，我们证明了若干霍奇数形变不变性的定理。另外，我们也研究了凯勒情形下Gauduchon锥及其与平衡锥的关系，同时证明了一个凯勒族中的一般纤维的Popovici意义下Gauduchon锥极限包含于此纤维的Gauduchon锥的闭包中。同样利用这个映射，我们给出了小平邦彦-Spencer的凯勒结构局部稳定性定理的一个幂级数证法。同时，我们也得到了两个新的局部稳定性定理，一个是用幂级数方法证明了具有所谓(n-1,n)-温和 \p\db-引理的n维平衡流形的局部稳定性，另一个关于p-Kahler结构在 (p,p)-Bott-Chern数的形变不变性条件下的局部稳定性。这些结果和方法对于研究形变稳定性问题将起到积极的作用。