复结构的形变及相关几何问题

We introduce a map from the space of pure-type complex differential forms on a complex manifold to the corresponding one on the infinitesimal deformations of this complex manifold. By use of this map and a modified iteraton method, we obtain a new extension formula and complete the deformation sense of the one in a recent joint work of Kefeng Liu, Xiaokui Yang with the applicant. As direct corollaries, we prove several deformation invariance theorems for Hodge numbers, verify the deformation invariance of the (0,1)-type Hodge numbers for the sGG manifolds induced by D. Popovici by the deformation invariance theorems and propose an application of this new extension formula to a possible power series proof for Kodaira-Spencer’s local stability of Kahler structures. To explore more deformation properties of sGG manifolds, we study the basic properties of the Gauduchon cones of compact complex manifolds and the relationship between the Gauduchon cones and the balanced ones of some special complex structures.

我们引进了一个从复流形的复微分形式空间到此复流形极小形变相应空间的延拓映射，通过该映射，我们给出了一个新的延拓公式，完备了和刘克峰教授、杨晓奎博士最近合作工作中延拓公式的形变意义。作为直接推论，结合迭代方法，我们证明了几个 Hodge 数形变不变性结果，利用这些结果验证了D. Popovici 引进的 sGG 流形的 (0,1)-型 Hodge 数的形变不变性，提出了这个新的延拓公式可能得到的 Kodaira-Spencer 的 Kahler 结构局部稳定性定理的一个幂级数证明，这是小平邦彦教授在其经典讲义中提的一个非常古老的问题。另外，我们将进一步研究 sGG 流形的形变性质，为此我们研究了一般紧复流形的 Gauduchon 锥的基本性质，以及在特殊复结构下 Gauduchon 锥与 balanced 锥之间的关系。

在面上基金项目的支持下，本项目在过去的四年主要从事复结构的形变理论和双亚纯几何的研究，取得的研究进展有：1) 在我们之前形变延拓公式的基础上，我们进一步引进了新的延拓映射并给出了一个具有完整形变意义的延拓公式，据此研究了p-凯勒结构在温柔ddbar-引理下的局部稳定性定理，这回答了小平邦彦1971年的一个问题并极大推广了小平邦彦-Spencer的凯勒结构局部性定理，及霍奇数的形变不变性问题；2) 解出凯勒流形上对数微分形式的一个dbar-方程，由此给出了德利涅关于对数霍奇-德拉姆谱序列在E1-层退化定理更简单的几何证明，及孔采维奇等的两个对数型的无障碍定理的凯勒流形情形；3) 证明了紧复流形的杜比尔特上同调的胀开公式及其纤维丛情形。