Bregman混杂投影不动点迭代算法及其在均衡优化问题中的应用

Equilibrium optimization problems have a lot of real world applications in optimal control, engineering technology, and transportation. It is meaningful to study the problems both theoretically and practically. Since the complexity of potential infinite dimensional spaces, the most efficient method to deal with these problems is the iterative method. Bregman hybrid projection iterative method, which is efficient to solve the equilibrium optimization problems, is an important method in modern nonlinear scientific computation. This research proposal focuses on two equilibrium optimization problems based on the Bregman hybrid projection algorithms, which in details are as follows: (1) Based on the Bregman hybrid projection algorithm, we study common solutions of the equilibrium optimization problems and fixed points problem of nonlinear operators. (2) Based on the technique of auxiliary operators and Bregman projections, we study the iterative approximation of solutions of the equilibrium optimization problems. Finally, numerical experiments are also implemented to verify the stability and efficient of the algorithms via Matlab. This research proposal, which will motive the development of approximation theory in nonlinear functional analysis, provides new methods and techniques to solve the equilibrium optimization problems.

均衡优化问题在优化控制、工程技术、运输与交通等领域有着广泛的应用，对于该问题的求解既具理论意义更具现实意义。但由于无穷维空间结构的复杂性，均衡优化问题求解只能付诸以迭代算法。Bregman混杂投影不动点迭代算法是处理非线性科学计算的有效手段，亦可作为求解均衡优化问题的有力工具。本项目拟针对不同的非线性算子设计Bregman混杂投影不动点迭代算法，并用其迭代逼近两类均衡优化问题的解，即：(1) 基于Bregman混杂投影迭代算法逼近均衡优化问题解集和非线性算子不动点集的公共元。(2) 基于Bregman混杂投影迭代算法逼近非线性算子不动点(或不动点集的公共元)，借助辅助原理技术，完成迭代算法对均衡优化问题解的迭代逼近。最后通过Matlab软件完成对迭代算法的稳定性和高效性的数值模拟。本项目将为求解均衡优化问题中迭代算法的研究提供新方法和途径，并为泛函分析中的算子逼近理论的研究和应用带来动力。

均衡优化问题在优化控制、工程技术、运输与交通等多个领域应用广泛，非线性算子不动点迭代算法是求解许多优化问题强有力的工具。因此，研究非线性算子不动点迭代算法构造具有广泛的实际意义。. 本项目研究的重要进展主要体现在如下方面：第一、Bregman严格拟伪压缩算子不动点迭代算法构造方面。本项目首次提出了多值Bregman严格拟伪压缩算子，并应用投影技术，构造了多种Bregman投影迭代算法，成功地逼近了包括单（多）值Bregman严格拟伪压缩算子等多种算子的不动点和均衡优化问题、零点问题、凸可行问题等多种优化问题的解。同时，设计了相应的数值实验，运用MATLAB技术，验证了算法的可行性。第二、Bregman渐近严格拟伪压缩算子不动点迭代程序设计方面。本项目首次定义了Bregman渐近严格拟伪压缩算子，并运用广义投影及Bregman投影技术，针对渐近拟phi非扩张算子和Bregman渐近严格拟伪压缩算子，设计了不同的投影不动点迭代程序，有效地逼近了系统均衡优化问题的解。并通过均衡优化问题的数值例子验证了所提程序的可行性。第三、研究了Bregman完全渐近严格拟伪压缩算子不动点迭代算法设计。本项目首次给出了Bregman完全渐近严格拟伪压缩算子的定义，并设计了修正Mann型广义混杂投影算法和Bregman收缩投影迭代算法逼近所研究算子不动点和系统广义混杂均衡问题的解。另外，本项目运用多种驻留时间方法、Lyapunov函数方法成功地研究了切换系统、一般非线性系统及具有三角结构的非线性系统的稳定性分析与控制设计。. 本项目丰富了Bregman非线性算子不动点和均衡优化问题解的迭代逼近理论与方法，一定程度上促进多个学科的交叉与融合。