四阶微分方程有限元方程组最优求解方法研究

四阶椭圆型微分方程用有限元离散后得到的代数方程组通常规模较大，结构复杂，稳定性较差，很难直接应用经典的求解策略快速求解。本项目将针对在无结构网格上离散四阶问题得到的有限元问题为背景，研究不同的几何区域和边值条件、不同的有限元离散方法对离散所得的代数方程组性质的影响，建立不同的离散格式之间的比较关系，从一两个有代表性的有限元问题入手，设计比较强健的、不依赖网格结构的多水平最优求解方法。这将为微分方程数值方法在应用科学中的实际应用和拓广提供更好的计算工具。技术路线有两个方向，互为补充：一方面将尝试辅助空间预条件法策略，引入辅助问题转化原始问题的求解困难，对一般的有限元方法构造比较通用的最优求解器，另一方面还将比较某些特殊有限元应用于不同的微分方程所得的代数方程组，甄别有限元性质和微分算子对代数方程组的影响，有针对性地设计求解策略，发展最优求解方法。

本项目的资助期限是2012年1月1日至2014年12月31日，项目的主题是“四阶微分方程有限元方程组最优求解方法研究”。具体地，本项目以在无结构网格上离散四阶问题得到的有限元方程组为对象,研究不同的几何区域和边值条件、不同的有限元离散方法对离散边值问题所得的代数方程组的性质的影响,在不依赖多重分层网格结构的条件下,为四阶问题有限元代数方程组设计比较通用的和强健的最优求解方法,或称最优求解器(solver)，和最优求解策略。. 通过三年的研究和探索，对照申请书和计划书来看，本项目的研究计划得到了较好的执行，申请书和研究计划中列出的目标、任务得到了较好的完成，取得了预期的研究进展和成果，在个别方面有加强和扩展，也为下面在一两个研究方向上的进一步的拓展奠定了一定的基础。. 具体地，围绕项目中心任务，我们在两个方面取得进展。一方面，我们对不同有限元离散四阶问题不同边值问题得到的一大类代数系统设计了统一的最优求解器，在文献中首次给出了不依赖网格结构的可以从数学上严格证明其最优性的最优求解算法，应该说，这项工作难度很大。我们的主要结果整理发表在数值分析领域的顶级杂志 SIAM J. Numer. Anal. 上面；另一方面，我们选取一两个有代表性的有限元系统，设计了与其性质结合更紧密的特殊的快速求解器，结果整理后已投稿到SCI杂志或将投稿。这两个方面都有后续研究工作已经展开和正在进行。. 与项目的中心任务相配合的，我们对有限元空间的结构进行研究。我们从“内”、“外”两个方面入手，分别研究了保结构有限元格式的设计和应用（内）以及利用有限元空间的结构特性设计高精度有限元方法（外），在这两个方面都取得了阶段性成果，分别有研究报告（论文）已经公开发表或者投稿到SCI杂志。