弹性应变梯度问题的有限元方法

For the strain gradient problem of elasticity and its finite element method，the corresponding mathematical discussion has not been found in the literature. In this proposal, two typical models, the full strain gradient problem and the couple stress problem, will be considered. The research topics are, to prove certain properties of the corresponding boundary value problems of partial differetial equations, to propose the abstract finite element methods for this two models, to fond the robust conditions and the convergent conditions, and to show the error estimates of the finite element methods. The final goal is to give some robust finite element schemes for this two models respectively.

对于线性弹性应变梯度理论及其有限元方法，相关的数学方面的工作是空白。本项目对全应变梯度问题和偶应力问题这两个典型模型，分别研究对应的微分方程边值问题的某些性质、抽象有限元格式、抽象有限元格式的稳定条件和收敛条件、抽象有限元格式的误差估计等。最终，给出若干具体的稳定的有限元格式。

力学中的应变梯度理论使用位移的高阶导数刻画连续体的微小形变或微观结构的影响，对应的数学模型常具有带多重参数的四阶椭圆形方程的形式，其数值求解是具有重要应用意义的课题，也具有一定难度，对数值方法的发展具有显著的推动意义。本项目以应变梯度理论的两个典型模型——全应变模型和偶应力问题为驱动，研究四阶带参数系统的数值方法，首先在一般理论上取得进展，以此推动在目标问题上取得突破。主要研究成果有：1）以偶应变问题对应的H1(curl) 问题为驱动，研究了一般四阶问题的稳定的有限元格式构造，提出一套一般性的有限元方法设计框架，并在无附加假设的情况下，通过多种四阶问题验证了该框架的有效性；2）从技术积累的角度出发，研究了具有典范意义的双调和方程和不可压Stokes问题的低次格式的构造，取得了不同于教科书表述及学界一般看法的结果；3）研究了全应变模型的离散，设计了一套对参数鲁棒的有限元方法；研究了偶应力问题的离散，设计了一套易于实现，可以快速求解的有限元方法；4）在有限元方法的其它基础性课题上取得一些进展。通过本项目的研究，一方面深化了对应变梯度理论典型模型的理解，为其在实际工程中的应用积累了计算方法的储备，另一方面，给一般四阶问题的数值方法及一般的数值分析学科提供了新的研究课题和视角，为后续研究开辟了思路方向。