EQ-代数及相关结构上的态与内态研究

EQ-algebras are the truth value algebraic structure for higher-order fuzzy logics. States on non-classical logical algebras are generalizations of probability measures on Boolean algebras. We mainly study the state and internal state theory on EQ-algebras and related structures. The research content are as follows. Introduce and study Bosbach states and Riecan states on EQ-algebras, and solve some open problems related to two kinds of states. Consruct EQ- algebras with internal states and characterize some kinds of special state EQ-algebras. Discuss the relations between derivations and state operators and study the relations between states and internal states. Study the state and internal state theory on residual lattices and equality algebras by similar ways. Research algebraic structures of state EQ-algebras by theory of state filters. Establish logical system corresponding to state EQ-algebras and prove the soundness and completeness of these logics. The subject aims to lay the algebraic foundation for describing fuzzy event’s possibility in higher-order fuzzy logics. Moreover, new methods for studying state theory on residual lattices, hyper EQ-algebras and equality algebras are also provided.

EQ-代数是高阶模糊逻辑对应的真值代数结构，非经典逻辑代数上的态是Boolean代数上的概率测度的推广。本项目研究EQ-代数及相关结构上的态与内态理论，具体包括：引入并研究EQ-代数上的Bosbach态和Riecan态，解决关于这两类态的公开问题；建立具有内态的EQ-代数，刻画几类特殊态EQ-代数；探讨导算子与态算子的联系，研究态和内态之间的关系；借助EQ-代数态理论的研究方法讨论剩余格和相等代数等相关逻辑代数上的态和内态理论；利用态滤子理论研究态EQ-代数的结构；建立具有内态的EQ-代数对应的逻辑系统，解决相应的可靠性、完备性问题。旨在为描述高阶模糊逻辑中模糊事件的可能性奠定代数基础，同时为剩余格、超EQ-代数和相等代数上态的研究提供新的思路和方法。

非经典逻辑代数是不确定性数学理论的重要研究领域，EQ-代数是高阶模糊逻辑对应的一类重要的逻辑代数。非经典逻辑代数上的态是Boolean代数上的概率测度的推广，是模糊逻辑中命题真值的重要量化工具。本项目针对EQ-代数及相关代数上的态和广义态、内态及其相关算子、子结构、相应的逻辑系统展开了系统深入的研究。我们构建了较完善的EQ-代数的态、内态和广义态的理论体系，研究了EQ-代数及相关代数上的导子，完善了EQ-代数及相关代数上的滤子和模糊滤子的理论体系，构建了三类新的逻辑系统。具体结果如下：在（超）EQ-代数、（超）相等代数、半Hoop代数、BCI-代数等逻辑代数上研究了Bosbach态和Riecan态的理论并讨论了态的存在性问题。在超MV-代数、超BCI-代数、超BCK-代数、超相等代数等超结构上引入并研究态的概念和理论；引入并研究了EQ-代数、非可换剩余格、半Hoop、伪相等代数等逻辑代数上的内态。在EQ-代数、BCI-代数、伪相等代数上引入并研究了广义态算子，得到了一系列更一般的结果；引入并研究了剩余格、有界超格、EQ-代数等逻辑代上的导子，讨论了导子与内态的关系，研究了导子不动之集的性质和结构；利用导子及其不动点集刻画了相应代数的结构；引入并研究了MTL-代数上Very true 算子;引入并研究了有界Hoop代数上的Monadic算子; 引入并研究了Hoop代数上的关联伪赋值；引入并研究了BL-代数上零化子、对偶零化子、广义对偶零化子的性质，分别讨论了零化子、对偶零化子构成集合的代数结构，利用零化子和对偶零化子刻画了素滤子和极小素滤子；引入并研究了剩余格、Hoop代数、超EQ-代数上的滤子理论；研究了伪BCK-代数和相等代数上的模糊滤子理论；引入并研究了具有逻辑联结词的相等命题逻辑, Monadic伪BCI逻辑, Very true MTL-逻辑系统。本项目的研究结果为描述高阶模糊逻辑中模糊事件的可能性奠定代数基础，同时为基于模糊相等运算的逻辑代数上态的研究提供新的思路和方法。