时滞、扩散诱发的余维二分支及其动力学性态

There are numerous phenomena involved in time delay, such as the feedback control in the field of engineering technology, catalytic reaction and enzyme reaction in chemistry and so on. In fact, to the study of bifurcations in the delayed reaction-diffusion systems, most scholars focus on the codimesion-1 Hopf bifurcation and Turing bifurcation. As for the codimension-2 B-T bifurcation and spatial resonance bifurcation, relevant researches are rarely seen. This project concerns on the delay and diffusion induced codimension-2 B-T bifurcation and spatial resonance bifurcation together with the dynamical properties, mainly through the theory of functional differential equation, reaction diffusion equation theory, the method of center manifold and normal form theory. Firstly, we derive the conditions for the B-T bifurcation and the general algorithm for the normal form in the reaction-diffusion systems with single delay and then apply these results into the specific chemical reaction models. Secondly, we investigate the conditions for the spatial resonance bifurcation and the general algorithm for the normal form in the reaction-diffusion systems with single delay and then apply these results into the specific chemical reaction models. Finally, we analyze the dynamical properties of the normal forms for the spatial resonance bifurcation with special relations between wave numbers. The research findings will fully reveal the fact that the changes of delay and diffusion can result in the intrinsic effect on the dynamical behavior. These efforts may also enrich the bifurcation theory of reaction-diffusion systems and offer the theoretical basis for solving physical problems.

时滞现象在自然界中是普遍存在的，比如工程技术领域的反馈控制、化学中的催化反应和酶反应等。目前，对于时滞反应扩散系统的分支研究，大部分学者都关注余维一的Hopf分支和Turing分支等方面，关于余维二的B-T分支和空间共振分支的研究成果甚少。本项目主要利用泛函微分方程理论、反应扩散方程理论、中心流形方法和规范型理论，研究时滞、扩散诱发的余维二B-T分支和空间共振分支及相关动力学性态。首先，给出单时滞反应扩散系统发生B-T分支的条件和规范型的一般算法并应用到化学反应器模型上；其次，探讨单时滞反应扩散系统发生空间共振分支的条件和规范型的一般算法并应用到化学反应器模型上；最后，对于特殊波数关系下的空间共振分支规范型进行动力学性态分析。本项目的研究成果将充分展示时滞和扩散引起的系统动力学行为的本质变化，将会丰富时滞反应扩散系统的分支理论，并为解决实际问题提供一定的理论依据。

时滞现象普遍存在于自然界中。在反应扩散系统中加入时滞因素之后，由时滞和扩散共同诱发的时空动力学行为是近些年来微分方程领域研究的热点问题之一。本课题主要研究了时滞、扩散诱发的余维二B-T分支、空间共振分支和Turing-Hopf分支及他们相关的动力学性态。研究的重点放在了利用中心流形方法和规范型理论，得到对应于B-T分支和空间共振分支的分支规范型。一方面，我们考虑了单时滞反应扩散方程的B-T分支问题。另一方面，我们探讨了时滞-反应扩散方程的空间共振分支和Turing-Hopf分支问题。对应于时滞、扩散共同诱发的B-T分支和空间共振分支，我们分别得到了分支条件并给出了规范型的一般计算步骤。在数值软件的辅助支持下，模拟的相图直观地展现了这几类余维二分支丰富的时空动力学行为。此外，我们将获得的理论结果及微分方程的分支理论，应用于催化剂-抑制剂模型，自催化模型以及具有集群行为的捕食-食饵模型等几类具有实际应用背景的系统。这些研究成果充分展示了时滞和扩散引起的系统动力学行为本质变化的过程，揭示了斑图模式的动力学机制。