扩散、时滞诱发的Turing-Hopf分支及相关研究

Reaction-diffusion system has a strong background in applications. Most of studies on the pattern dynamics of reaction-diffusion system are based on the numerical analysis and numerical simulations, lack of deeply theoretical analysis. Bifurcation theory is a fundamental tool to investigate deeply the pattern dynamics. However, so far, the bifurcation theory on the reaction-diffusion system mostly focus on the codimension-1 Hopf bifurcation. Based on the reaction-diffusion system on the bounded region, this project investigates the following three scientific problems:(1) Turing instability and codimension-2 bifurcation in the bounded region; (2) the effects of diffusion and delay on the dynamics of reaction–diffusion system; (3) oscillatory patterns and the influence of delay, boundary of region on the pattern dynamics. The major objectives of this project are to gain a better understanding of the effects of the interaction of “diffusion”, “delay” and “reaction” on the spatio-temporal dynamics of the reaction-diffusion system, to investigate deeply the dynamical classification near the codimension-2 bifurcation point due to the interaction of Turing bifurcations, interaction of Hopf bifurcations with different wave number and interaction of Turing bifurcation and Hopf bifurcation, and to understand theoretically the dynamical mechanism leading to oscillatory patterns.

反应扩散系统有着强烈的实际背景，对其斑图动力学的已有研究大多建立在数值分析与模拟的基础上，缺乏深刻的理论分析。分支理论是深入认识反应扩散系统的斑图动力学的重要工具。然而，目前对于反应扩散系统分支问题的研究大多局限于余维一的Hopf分支的情形。本项目针对有界区域上的反应扩散系统，通过对（1）Turing不稳定性与余维二分支；（2）时滞和扩散的联合作用对反应扩散方程动力学的影响；（3）振荡斑图以及时滞、区域边界对斑图动力学的影响这三个科学问题的研究，深入探讨“扩散”、“反应”和“时滞”的联合作用对系统时空动力学的影响，重点研究导致空间结构的Turing分支之间、诱发时间方向周期振动的Hopf分支之间以及它们的相互作用而导致的余维二分支点附近的动力学分类，深刻认识导致振荡班图模式的动力学机制。

本项目深入探讨了“扩散”、“反应”和“时滞”的联合作用对反应扩散系统的时空动力学的影响。按照项目书提出的研究目标，系统深入的研究了反应扩散方程中Turing分支和Hopf分支相互作用而导致的Turing-Hopf分支,给出了以下四种类型的反应扩散方程中Turing-Hopf分支规范型的计算方法：（1）无时滞的反应扩散方程；（2）具有时滞的反应扩散方程；（3）具有空间平均的反应扩散方程；（4）具有空间记忆扩散的反应扩散方程。建立了Turing-Hopf分支规范型和原反应扩散方程的时空模式之间的对应关系，通过分析Turing-Hopf分支规范型的动力学得到原反应扩散方程在Turing-Hopf分支点附件的时空动力学分类。给出了由扩散导致的空间共振分支规范型的算法，发现了空间共振分支导致的多个稳定的空间非齐次稳态解共存现象。研究了单种群模型中在空间匀质环境下分布时滞和空间异质环境下离散时滞的性质对空间非常数稳态解的稳定性的影响及其诱发的Hopf分支。另外，应用获得的理论结果及微分方程的分支理论，我们还研究了贻贝－藻类系统、具有群体效应的捕食－食饵系统、具有微小核糖核酸调控的癌症网络模型、具有无症状携带者和潜伏期的周期疾病传播系统、具有捕获和年龄结构的鱼类资源系统等几类具有实际应用背景的系统的动力学。这些理论结果对于丰富微分方程定性理论，推动动力系统分支理论的深入发展，以及在生态保护、环境治理、种群演化、疾病预防、资源利用等方面具有重要等理论和实际指导意义。