Boltzmann方程及相关耦合系统在临界正则性空间中的数学理论

It is well known that the kinetic theory with core of Boltzmann equation has a great application in mathematics, physics as well as various fields of the modern science and technology. However, there are few mathematical results available in critical regularity spaces. Based on some analysis tools, for example, the Littlewood-Paley decomposition and Bony's paradifferential calculus, etc., the applicant intends to develop new nonlinear estimates and overcome the outstanding difficulty arising from the degenerate mechanism of "non-cutoff" and "regularity-loss". Consequently, the global existence and optimal time-decay estimates of solutions to the Boltzmann equation and related coupled systems are established in critical Besov spaces. The project is devoted to frontier subjects in the current research field of partial differential equations, those results and approaches obtained have some significant novelties, which can be applied to the research work for other dissipative partial differential equations after some suitable modifications.

众所周知，以Boltzmann方程为核心的动力学理论在数学、物理以及现代科学技术的各个领域中都有广泛的应用。然而，在临界正则性空间中相关的数学结果较少。基于Littlewood-Paley分解和Bony仿微分演算技术等调和分析工具，申请人拟发展新的非线性估计，克服“非角截断”和“正则性损失”等退化机制带来的突出困难，从而在临界Besov空间中建立Boltzmann方程及相关耦合系统解的整体存在性与最佳时间衰减性。本项目的研究内容属于当前偏微分方程领域的前沿课题，所得结果和方法具有一些重要的创新，适当修改后可应用于其它耗散型偏微分方程的研究工作。

本项目侧重运用Littlewood-Paley分解理论与Bony仿积演算技术的调和分析工具，研究Boltzmann方程及相关流体力学方程组在临界正则的Besov空间中柯西问题解的整体存在性、衰减稳定性和光滑性。取得的主要结果如下：（1）利用Bony仿微分演算技术和Landau算子的谱理论构造新的三线性上界估计，从本质上改进以往使用Leibniz公式所建立的Moser型乘积估计，进而建立了非线性Landau方程和空间非齐次非角截断Kac方程柯西问题强解的整体存在性和光滑正则性；（2）基于热核的负指标Besov范数的等价刻画，提出了一个可压缩Navier-Stokes方程的低频衰减假设。构造非标准的乘积估计发展时间加权能量方法和Lyapunov能量方法，对一类具有高震荡初始速度的强解建立了关于时间的最优衰减性。这种拟微分算子观点的衰减框架，能厘清整体存在性低频正则性指标和衰减性低频正则性指标之间的关系，并且避免了在谱分析方面的繁琐计算；（3）利用Bony仿微分演算技术发展带Gevrey解析算子的乘积估计和复合函数估计，对具有Korteweg色散效应的可压缩流体力学方程组建立了强解的Gevrey光滑性。进而关于带Korteweg色散项一般形式的对称双曲—抛物方程组提出新的结构假设，发展了经典的Shizuta-Kawashima条件，从而建立了“正则性获得”的耗散机制；（4）关于非牛顿流体中Oldroyd-B型可压粘弹流模型进行耗散结构分析，首先在“散度—旋度”结构假设下，建立了柯西问题强解在Lp临界空间中的整体存在性和时间衰减性。如果没有这个相容性假设，通过引进新的粘性有效通量，有效地捕捉密度变量和形变张量组合的部分耗散，在临界空间中重新证明了强解的整体存在性，结果揭示了非牛顿流体模型的耗散结构比经典的可压缩Navier-Stokes方程弱。