量子Boltzmann方程的数学理论

Quantum Boltzmann equation describes transport properties of Fermi-Dirac particles and Bose-Einstein particles. It can be used to explain physical phenomena such as the quantum effects on the transport properties of hydrogen and helium at low temperatures and also the degeneracy for both Fermi-Dirac particles and Bose-Einstein particles. Related research is important in both theory and practical applications. In this project, based on the research on kinetic and related models, the applicant plans to study the well-posedness, large time behavior and the classical limit of the solution of quantum Boltzmann equation. First, for quantum Boltzmann equation for Fermi-Dirac particles, we will consider well-posedness and time decay rate of the classical solution for the Cauchy problem near equilibrium. Next, we will investigate unique existence and asymptotic stability of time-periodic solution of the same equation with time-periodic source. Then, for both Fermi-Dirac particles and Bose-Einstein particles, we will study unique existence of mild solution for the Cauchy problem near vacuum. Finally, we will consider the classical limits of above problems.

量子Boltzmann方程刻画Fermi-Dirac粒子和Bose-Einstein粒子的输运性质。它可以用来解释低温下氢和氦的输运性质的量子效应，以及Fermi-Dirac粒子和Bose-Einstein粒子的简并性。相关研究具有重要的理论和实际应用价值。本项目中，申请人计划在已有对动理学相关模型理论研究的基础上对量子Boltzmann方程解的适定性，大时间行为以及经典极限问题做进一步的研究。首先，对Fermi-Dirac粒子的Boltzmann方程，我们研究其Cauchy问题平衡态附近经典解的适定性和时间衰减率。其次，我们考虑带时间周期源项方程的时间周期解的存在唯一性和渐进稳定性。然后，对Fermi-Dirac粒子和Bose-Einstein粒子，我们研究在真空附近Boltzmann方程的Cauchy问题温和解的存在唯一性。最后，我们还将考虑以上问题的经典极限。

在经典的Boltzmann方程中若考虑粒子之间相互作用的量子效应，所得到的方程即为量子Boltzmann方程。它在刻画Fermi-Dirac粒子和Bose-Einstein粒子的输运性质中有着重要的作用。本项目主要研究了量子Boltzmann方程解在不同函数空间下的存在唯一性和大时间行为。通过谱分析方法我们证明了，若粒子不满足Pauli不相容原理，则相应的Boltzmann方程Cauchy问题经典解在L^\infty框架下是适定的且具有时间代数衰减率。在真空附近，我们构造了Kaniel-Shinbrot型迭代，由此我们证明了对于两种粒子，Boltzmann方程Cauchy问题温和解存在唯一。以上研究工作具有一定的理论价值。