Boltzmann方程及相关方程解的正则性和渐近性态

近年来对Boltzmann方程及相关方程的研究引起了国内外数学家的广泛关注并取得了一系列好的结果，但是由于Boltzmann方程的非线性性及所描述现象的复杂性，许多基本问题还有待进一步研究：比如Boltzmann方程及Landau方程解的正则性问题；量子化Boltzmann方程及Landau方程Cauchy 问题解的渐近行为（稳定性及衰减估计）；带外力项无量纲化Boltzmann方程的扩散极限问题，碰撞核是soft potential（软势）的无量纲化Boltzmann方程及Landau方程在全空间中的扩散极限问题，同样情形下带外力项的Boltzmann方程及Landau方程的周期初边值问题、Cauchy 问题解的渐近性态等。本项目拟围绕上述问题开展研究，即主要考虑Boltzmann方程及相关方程解的正则性及渐近性态等，这些研究对认识和理解气体动力学的渐近演化规律具有重要意义。

本项目按照计划书中的研究课题稳定有序的推进，在国家自然科学基金的强力支持下，取得了预期满意的成果。在动理学方程解的存在性和大时间性态方面，.我们研究了带位势外力以及摩擦力的Landau方程解的存在性以及大时间性态，在此基础上我们还首次研究了更复杂的模型，如通过摩擦力耦合Euler方程组的Vlasov-Fokker-Planck 方程组，带耦合洛仑兹力的动理学方程组如非截断情形Vlasov-Poisson-Boltzmann方程组，Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程组，相对论情形的Landau-Maxwell方程组，量子情形的Landau-Fermi-Dirac方程以及描述混合气体的动理学方程等，得到了其解的存在性及其时间衰减估计。在解的正则性方面，我们也取得了一些重要的结果，我们得到了全空间上Landau方程解的正则性效应以及更复杂模型Landau-Fermi-Dirac方程在周期区域上的光滑性效应。在流体动力学极限方面，我们在数学理论层面严格论证了Enskog-Chapman展开的二阶近似为可压Navier-Stokes方程组。上述相关成果已经正式发表在Comm. Math. Phys. , J. Differential Equations 等国际主流数学杂志上。