微生物絮凝扩散方程的动力学研究及差分有限元方法

Microbial flocculation plays an important role in microbial production process and wastewater treatment. In this project, the upper and lower solution method, fixed point index theory, bifurcation theory and linearization method are used to consider the qualitative properties of solutions of microbial flocculation equations. Secondly, the difference finite element method is studied by combining Sobolev space theory, variational principle and inequality theory, where we use the difference method in z-direction and the finite element method in the (x,y)-direction. Thus, the complex three-dimensional coupled nonlinear flocculation equations are reduced to the system of linear decoupled low-dimensional problems. The stability and convergence of the numerical solution of the decoupled scheme are analyzed, and the optimal order error estimation is given. The efficiency of the scheme is confirmed by numerical simulation. The research of this project will contribute to the further development of nonlinear research and the wide application of microbial flocculation in productive process and wastewater treatment.

微生物絮凝在微生物生产性工艺和废（污）水处理等领域具有极其重要的应用。本项目首先将运用上下解方法、不动点指标理论、分歧理论和线性化方法等考虑微生物絮凝方程组解的定性性质方面的研究工作。其次，数值上结合Sobolev空间理论、变分原理和不等式理论等研究差分有限元离散方法，即径向方向用有限差分法进行离散，水平方向用有限元方法进行离散，于是将复杂的3维耦合的非线性絮凝方程的求解归结为一系列线性解耦的低维问题进行求解，给出解耦格式的数值解的稳定性和收敛性分析以及最优阶误差估计，并运用数值模拟检验格式的高效性。该项目的研究将有助于非线性研究的深入发展和微生物絮凝在生产性工艺和废（污）水处理中的广泛应用。

本项目讨论了3维定常Stokes方程组的差分有限元方法，分析了微生物扩散模型的动力学性质及奇异性问题，是非线性科学领域的热点研究课题。我们将对3维定常Stokes方程组设计差分有限元方法，利用满足离散的inf-sup条件的2维协调混合有限元空间对构造满足离散inf-sup条件的3维协调混合有限元对，在z方向使用差分法离散，并结合稳定性和收敛性分析及数值计算证明了求解3维Stokes方程组的差分有限元方法的有效性。对于微生物扩散模型的动力学性质，结合Lyapunov-Schmidt约化方法和奇异性理论研究了该模型周期解的存在性、分歧方向和稳定性，以及平衡解的存在性和多重性，解决了经典Hopf分歧理论和Crandall-Rabinowitz分歧理论的应用障碍，并利用数值模拟阐述了理论分析结果。.本项目所提出的差分有限元方法极大地降低了计算量，为求解3维定常和非定常Navier-Stokes方程组和MHD方程组提供了新的思路和求解途径，所采用的Lyapunov-Schmidt约化方法和奇异性理论为奇异性问题提供了新的研究视角，该项目的研究将会为非线性科学的研究做出一定的贡献。