与反应扩散方程动力相容的高精度非标准有限差分方法

Reaction-diffusion equations which widely exist in science and engineering fields have many important properties. Only the numerical methods which can correctly reflect the properties of the original equation have application value. Therefore, the construction of numerical methods which are capable of preserving properties of reaction-diffusion equations is a topic worth studying. Nonstandard finite difference methods have the advantages of easy construction and convenient calculation, and can preserve the important properties of many kinds of differential equations. Thus, this project will apply nonstandard finite difference method to solve the reaction-diffusion equations. We will carry out this project according to the principle of from the particular to the general. Firstly, we will construct nonstandard finite difference methods for some special reaction-diffusion equations, which could preserve the properties of the corresponding equations unconditionally, and then summarizes the law of the construction for this kind of methods. Secondly, we will develop dynamically consistent nonstandard finite difference methods for two classes of reaction-diffusion equation with a general form. At last, combined with the ideas of high precision numerical methods, we will improve the proposed numerical methods to develop dynamically consistent and high accuracy nonstandard finite difference method for reaction-diffusion equations, analyze the convergence of the numerical methods, and carry out numerical experiments. The research of this project will provide accurate and reliable tools for the scientific calculation and numerical simulation of reaction-diffusion problems.

广泛存在于自然科学和工程领域中的反应扩散方程具有很多重要的性质。只有能够正确反映原方程性质的数值方法才具有应用价值，所以构造能够保持反应扩散方程性质的数值方法是一项值得研究的课题。由于非标准有限差分方法构造简单、计算方便并能够保持多种微分方程的重要性质，本项目将采用这类方法求解反应扩散方程。本项目按照由特殊到一般的原则，首先针对一些特殊的反应扩散方程，构造无条件保持原方程性质的非标准有限差分方法，总结这类方法的构造规律；然后针对两类具有一般形式的反应扩散方程，构造其动力相容的非标准有限差分方法；最后结合高精度数值方法的构造思想，对所构造的方法进行改进，得到与原方程动力相容的高精度非标准有限差分方法，分析方法的收敛性并进行数值实验。本项目的研究可为反应扩散问题的科学计算和数值仿真提供准确可靠的工具。

本项目主要致力于构造与反应扩散方程动力相容的高精度数值方法。具体内容包括：（1）选择一些有代表性的反应扩散方程，如广义的 Fisher 方程、广义的 Burgers-Huxley 方程、带有空间扩散的传染病模型、带有延迟项的反应扩散系统等，构造其动力相容的非标准有限差分方法，研究所构造方法的动力学性质，如解的正性、有界性、单调性、平衡点的局部渐近稳定性、全局渐近稳定性、分支行为等，及所构造方法的稳定性及收敛性，并通过数值模拟检验理论结果的正确性。（2）通过比较不同的反应扩散方程的非标准有限差分方法，总结方法的构造规律。然后，对两类具有一般形式的反应扩散方程，给出了动力相容的非标准有限差分方法的构造规则。（3）对一些特殊的分数阶微分方程与随机微分方程，构造了高精度、保结构或保不变量的数值方法，总结方法的构造规律，为含有随机项或分数阶导数的反应扩散方程，构造动力相容的高精度数值方法奠定基础。本项目的研究为相关反应扩散方程的科学计算与数值仿真提供了有效的算法。