微生物絮凝扩散方程的动力学研究及差分有限元方法

Microbial flocculation equations are used to describe the growth and flocculation process of microorganisms, which have obvious practical background and application prospect, and also have the characteristics of large-scale, coupling and nonlinear. In this project, the dynamic property and the finite element method of the microbial flocculation diffusion equations are studied by combining the dynamic theory, numerical analysis and numerical experiment. From the bifurcation theory, topological degree theory, maximum principle, Lyapunov-Schmidt method, singularity theory and normal form theory, the spatiotemporal dynamic behaviors of the singularity problem are studied, which are confirmed by the numerical simulation. The decoupled iterative schemes are designed to solve the coupled nonlinear equations. The decoupled linearized equations are discretized by the difference finite element method with first-order and second-order accuracy. The complex nonlinear flocculation equations are transformed into the system of linear decoupled low-dimensional problems, and the stability and convergence of the algorithm are analyzed. The research of this project provides new research ideas for singularity problem and numerical method to be solved. It can not only enrich the dynamic theory and numerical analysis of nonlinear differential equations, but also has important significance for the cognition of microbial life phenomenon and the treatment of wastewater.

微生物絮凝方程用以刻画微生物的生长絮凝过程，具有明显的实际背景和应用前景，也具备大规模性、耦合性和非线性性等特点。本项目拟结合动力学理论、数值分析和数值实验研究微生物絮凝扩散方程的动力学性质及差分有限元方法，通过分歧理论、拓扑度理论、最大值原理、Lyapunov-Schmidt方法、奇异性理论、规范型理论等着重研究该方程奇异性问题的时空动力学行为，并运用数值模拟验证；其次，设计求解该耦合的非线性方程的解耦迭代格式，对于解耦的线性化方程采用具有一阶及二阶精度的差分有限元方法进行离散，将复杂的非线性絮凝方程的求解转化为一系列线性解耦的低维问题进行求解，并对其算法进行稳定性和收敛性分析。本项目的研究对尚待解决的奇异性问题和数值方法提供新的研究思路，不仅可以丰富非线性微分方程的动力学理论和数值分析，也对微生物生命现象的认知和废（污）水的处理具有重要的意义。

本项目分析了微生物扩散模型的奇异性分歧和动力学行为，研究了3维定常Stokes方程组的差分有限元方法，这些问题具有明显的生物和物理背景及应用前景。关于微生物扩散模型的动力学性质，在研究内容上，我们着重探讨了具有奇异性的Hopf分歧和静态分歧，研究结果呈现了该模型丰富的动力学行为；在研究方法上，将Lyapunov-Schmidt约化方法和奇异性理论相结合，讨论了该模型的空间齐次和非齐次周期解及非常数稳态解的存在性、分歧方向和稳定性；数值模拟结果更形象地解释和刻画了奇异性问题产生的周期解和稳态解的分歧和结构。相比于中心流形方法，本项目给出了空间非齐次周期解的稳定性和分歧方向更为便捷的判别方法，也克服了经典的Hopf分歧理论和Crandall-Rabinowitz分歧理论的应用障碍。此外，综合运用泰勒展式、Von Neumann条件和Fourier分析法分析了该模型有限差分格式的一致性、稳定性和收敛性，并赋予数值实验。对于3维定常Stokes方程组的差分有限元方法，利用满足离散inf-sup条件的2维协调混合有限元空间对构造3维定常Stokes方程组满足离散inf-sup条件的3维协调混合有限元对，并在径向方向使用有限差分法进行离散；进而，给出了稳定性和收敛性分析及数值计算，证明了求解3维Stokes方程组的差分有限元方法的有效性。本项目的理论研究结果为奇异性分歧问题提供了新的研究思路，为求解3维定常问题提供了新的解决方法，数值模拟结果完善了已有工作的数值结果，研究结果和方法丰富了非线性微分方程的动力学理论和数值分析。