Lusztig 对称子的几何和范畴实现以及相关问题研究

The main research object in this project is to study the geometric and categorical realizations of Lusztig’s symmetries on quantized enveloping algebras and double Ringel-Hall algebras. Lusztig’s symmetries are very important in the study of quantized enveloping algebras. Geometrization is an important method to study canonical bases introduced by Lusztig, who realizes the positive part of a quantized enveloping algebra via the category of perverse sheaves on the representation space of some quiver. Categorification is also an important method to study canonical bases introduced by Khovanov-Lauda and Rouquire respectively, who realize the positive part of a quantized enveloping algebra via the category of projective modules of some algebra. We hope to study Lusztig’s symmetries by the methods of geometrization and categorification. First we shall give the geometric and categorical realizations of quantized enveloping algebras and double Ringel-Hall algebras. Then we shall give the geometric and categorical realizations of Lusztig’s symmetries on them by using the geometric realizations of Lusztig’s symmetries on the positive parts of quantized enveloping algebras. At last, we will give the geometric and categorical descriptions of the braid group relations.

本项目研究内容为量子群和 double Ringel-Hall 代数上 Lusztig 对称子的几何和范畴实现. Lusztig 对称子是研究量子群的重要工具. 几何化是 Lusztig 定义典范基时引入的重要工具, 他利用箭图表示空间上的反常层范畴实现了量子群的正部分. 范畴化是 Khovanov-Lauda 和 Rouquire 研究典范基时引入的重要工具, 他们利用一个代数的投射模范畴实现了量子群的正部分. 本项目拟利用几何化和范畴化的方法研究 Lusztig 对称子. 本项目首先会给出量子群和 double Ringel-Hall 代数的几何与范畴实现, 然后利用肖杰和申请人给出的 Lusztig 对称子在正部分上的限制的几何实现, 给出整个量子群和 double Ringel-Hall 代数上 Lusztig 对称子的几何和范畴实现, 最后本项目会给出辫子群关系的几何和范畴描述.

本项目主要研究量子群和 double Ringel-Hall 代数上 Lusztig 对称子的几何和范畴实现. Lusztig 对称子是 Weyl 群中元素在量子群上的提升, 对研究量子群结构有重要作用. Ringel 引入的 Ringel-Hall 代数的合成子代数与对应的量子群正部分是同构的. Green 和肖杰给出 Ringel-Hall 代数的 Hopf 代数结构. 肖杰利用 Drinfeld double 方法定义了 double Ringel-Hall 代数, 并证明它的合成子代数与量子群同构. 利用这种同构肖杰和杨士林通过 BGP 反射函子给出了 Lusztig 对称子的表示论实现. 邓邦明和肖杰也定义了 double Ringel-Hall 代数上的 Lusztig 对称子并给出其表示论描述. 几何化是 Lusztig 定义典范基时引入的重要工具, 他利用箭图表示空间上的反常层范畴实现了量子群的正部分. 范畴化是 Khovanov-Lauda 和 Rouquire 研究典范基时引入的重要工具, 他们利用一个代数的投射模范畴实现了量子群的正部分. .本项目首先给出了量子群正部分上 Lusztig 对称子的几何实现. 我们利用 Lusztig 给出的 BGP 反射函子的拓扑解释, 构造了相应箭图表示给出的代数簇上的层的复形的导出范畴之间的一个函子. 这个函子给出了对应 Grothendieck 群之间的一个映射. 利用量子群正部分的几何实现, 我们得到量子群上的一个映射. 通过分析这个函子和 BGP 反射函子的关系, 我们证明了这个函子给出 Lusztig 对称子的几何实现. 然后我们研究了箭图表示给出的代数簇上所有层的复形构成的导出范畴. 构造了这个范畴上的诱导函子和限制函子, 并证明这两个函子和 antipode 函子给出这个 Grothendieck 群上的 Hopf 代数结构. 然后利用 Drinfeld double 的方法就可以给出 double Ringel-Hall 代数的几何实现. 这时 Lusztig 层对应的部分给出量子群的整体几何实现. 利用前面两部分的结果, 只需要在单生成元上补充合适的定义就可以给出整体量子群和 double Ringel-Hall 上 Lusztig 对称子的几何实现.