丛范畴及相关问题研究

The cluster algebras and the representations theory of algebras are linked together with the cluster categories. This project will focus on the study of the cluster categories defined via the locally finite infinite quiver with no infinite path, mainly containing the following four parts: the geometric realization of cluster categories, the torsion pairs in the cluster categories, the relations between cluster categories and covering theory and the relations between cluster categories and generalized cluster categories..In our project, we are willing to study the following problems. Firstly, we find the geometric models corresponding to the cluster categories about the D infinity quiver and the locally finite infinite quiver with no infinite path, respectively and then give the geometric realizations about these categories. Next, we find all the torsion pairs in the cluster categories about the D infinity quiver and the locally finite infinite quiver with no infinite path basing on the previous results. Then, we build the combinatorial invariant theory of this covering and then use this theory to give a new characterization of a triangulation category of finite type to be a cluster category. Finally, we generalise above results to the generalized cluster categories, give the combinatorial characterization of generalized cluster-tillted algebras and show more homological properties about them..This project is linked together with the cluster algebras, cluster categories, tilting theory, Auslander-Reiten theory and other topics, e.g., algebraic topology and hence it is a interdisciplinary project.

丛范畴是联系丛代数理论和代数表示理论的重要纽带。本项目研究的是由没有无穷路的局部有限箭图定义的丛范畴，主要包括如下四方面研究：丛范畴的几何实现、丛范畴的挠理论、丛范畴与覆盖理论之间联系和丛范畴与广义丛范畴之间联系。.在本项目中，我们拟研究解决以下问题。首先，找到D无穷型和一般没有无穷路的局部有限箭图丛范畴对应的几何模型，并给出相应丛范畴的几何实现。其次，在此基础上找出D无穷型和一般没有无穷路的局部有限箭图丛范畴上的所有挠对。然后，建立两个赋值箭图在覆盖下的组合不变性理论，并由此得到一个有限型三角范畴是丛范畴的组合刻画。最后，把上述结论推广到广义丛范畴上，并给出广义丛倾斜代数的组合等价刻画和更多同调性质。.以上研究在内容上涉及了丛代数、丛范畴、覆盖理论、倾斜理论、Auslander-Reiten理论以及其它学科(如代数拓扑)，是一个具有学科交叉性的项目课题。

丛范畴是联系丛代数理论和代数表示理论的重要纽带。本项目对丛范畴的几何实现、挠理论（torsion theory），丛范畴与覆盖理论（covering theory）之间联系，丛代数的组合和拓扑性质以及三角范畴中的silting对象进行了研究，主要得到以下结论：.1. 给出了D无穷型箭图丛范畴的几何模型，得到该丛范畴的几何实现；.2. 描述了D无穷型箭图丛范畴上的所有挠对；.3. 建立两个平移箭图在覆盖下的组合不变性理论，并在此基础上，得到了一个有限型三角范畴是丛范畴的组合刻划；.4. 利用经典有限维表示范畴覆盖理论中的下压和上提函子，建立了赋值箭图范畴之间的覆盖理论，并在此基础上，对丛范畴之间的覆盖理论进行了研究；.5. 证明了遗传代数上silting复形的Bongartz引理；.6. 通过平面网络和混合型子丛代数，给出了正定矩阵的一个判别法则；.7. 给出了来自不带刺穿点曲面量子丛代数的展开公式，并在此基础上，得到了该类量子丛代数正性猜想的一个新的组合证明。