子流形的几何及相关问题研究

The study of self-shrinkers and translating solitons plays an very important role in exploring the singularity of the mean curvature flow. In order to further study their geometric properties, it is necessary to construct the corresponding new non-trivial examples, and geometers are also very interested in this problem, there are few results on the examples of self-shrinkers and translating solitons in the current, this project construct new nontrivial self-shrinkers and translators by loop group method and Weierstrass representation. On the other hand, since the spacelike self-shrinker which is closed with respect to Euclidean topology is not necessarily complete, many geometric and analytical tools are no longer applicable, the existing rigidity results are very few, we plan to study this. In addition, there is a famous Aarons conjecture in the mean curvature flow with a forcing term in the pseudo Euclidean space which is closely related to the translating soliton, and it has not yet been solved in the negative situation, we are going to prove that the Aarons conjecture holds true in this case. Furthermore, we also study the geometric properties of the Hermitian manifold by establishing the Schwarz lemma under the Bakry-Emery curvature condition and the generalized harmonic maps. Through the study of this subject, we shall have a better understanding of the geometric properties of submanifolds from both the research methods and theoretical results.

自收缩子和平移孤立子的研究在探讨平均曲率流的奇性方面起着极其重要的作用，为深入研究它们的几何性质，我们很有必要构造相应新的非平凡的例子，这也是很多几何学家非常关心的问题，目前这方面的研究文献很少，本课题计划通过Loop group的方法和Weierstrass表示构造自收缩子和平移孤立子大量非平凡的例子。另一方面，由于关于欧氏拓扑是闭的类空自收缩子不一定完备，很多几何和分析的工具不再适用，现有的刚性结果不多，我们计划对此展开研究。此外，伪欧氏空间中带有强制项的平均曲率流有著名的Aarons猜想，该猜想与平移孤立子密切相关，在负的情形至今尚未得到解决，本课题拟对此进行研究。另外，我们也计划通过建立Bakry-Emery型曲率条件下的Schwarz引理和广义调和映照来研究Hermitian流形的几何性质。通过本课题的研究，将使我们从研究方法和理论结果上对子流形的几何性质有更进一步的认识和理解。

本项目主要研究子流形的几何性质及其相关问题，具体如下：.1）对于伪欧氏空间中通过原点的拓扑闭的类空自收缩子，我们利用不同的方法进行了研究。首先，利用广义极值原理，证明了当平均曲率满足一定的增长条件时，自收缩子一定是线性子空间；其次，利用积分方法，证明了当平均曲率和第二基本形式满足一定的条件时，自收缩子一定是平坦的，推广了Liu-Xin的结果；特别的，当自收缩子是整图时，通过建立新的体积增长估计和余面积公式，我们证明了一个接近最优条件的刚性结果。.2）通过建立VT-调和映照的Jager-Kaul型极值原理，我们证明了VT-调和映照狄利克雷问题的存在性定理。作为应用，我们给出了Weyl流形（仿射流形/Hermitian流形）间的Weyl调和映照（仿射调和映照/Hermitian调和映照）以及从二维流形出发的磁力调和映照的相应结果。我们也给出了从完备非紧流形出发的$VT$-调和映照的梯度估计和存在性结果。.3）研究了广义调和映照的Schwarz引理和刘维尔定理。当目标流形的截面曲率是负的时候，我们确定了f-调和映照的Schwarz引理，当出发流形和目标流形的维数都比较大时，可以推广Chen-Zhao的定理3。当目标流形的截面曲率时非正时，我们得到了一般的V-调和映照的刘维尔定理，作为推论，在具有非负Bakry-Emery Ricci曲率的完备黎曼流形上满足|u(x)|=o(\sqrt{r(x)})的V-调和函数u一定是常数。.4）研究了porous medium方程u_t = \Delta_V u^m, \quad (m>1)正解的梯度估计。改进了Lu-Ni-Vazquez-Villani [JMPA, 2009]的结果。.5）研究了紧致带边流形上Ricci-Bourguignon流的短时间存在性，推广了Pulemotov(JRAM, 2013)中的结果。.6）通过建立凯勒流形上流动形的调和积分理论，解决了对数微分形式的某些\overline{\partial}-方程；用层理论方法得到紧复流形上达布上同调群的爆破公式；用幂级数方法证明了p-凯勒结构的局部稳定性。.7）证明了从完备非紧黎曼流形出发的逆紧双调和映照的非存在性结果和刘维尔型定理以及从紧致无边黎曼流形到非正截面曲率黎曼流形的双f-调和映照一定是f-调和映照。