几类初值问题数值方法的长时间性态

This project aims at the study of stability and convergence of numerical methods for some classes of initial value problems. For ordinary differential equations, we mainly investigate the long time convergence of numerical methods. For delay differential equations, the focus is on the delay-dependent stability analysis of numerical methods. For weakly singular Volterra equations, the concentration is on the construction of high order discretizations and on the analysis of their stability and convergence. On that basis, we further extend some studies to stochastic differential equations. Based on the stability theory of numerical methods for initial value problems in ordinary differential equations which is their common ground, the theoretical analysis will be performed by some modern mathematical methods in combination with the characters of each class of problems. Some essential features of numerical methods for initial value problems and their intrinsic connection will be revealed. The results obtained in this project will enhance the algorithm theory of initial value problems for differential equations and have wide range applications in many areas of science and engineering.

本项目研究几类典型初值问题数值方法的稳定性和收敛性。对常微分方程，重点研究数值方法的长时间收敛性；对延迟微分方程，重点研究数值方法的延迟依赖稳定性；对弱奇异Volterra方程，构造具有好的稳定性的高精度算法并进行理论分析。在此基础上，将部分研究进一步扩展到随机微分方程领域。我们将以常微分方程初值问题数值方法的稳定性理论作为基本出发点，利用现代数学方法并结合各类问题的特点进行系统的理论分析，揭示初值问题数值方法的一些重要本质特征和内在联系。所获成果将丰富和发展微分方程初值问题的算法理论，在科学与工程领域也将具有广泛应用前景。

本项目研究几类典型初值问题数值方法的稳定性、收敛性和守恒性，为初值问题的长时间数值模拟提供理论基础。在随机常微分方程方面，构造了改进的分裂步theta方法和两类两步Milstein型方法，证明它们都具有1阶强收敛性，并对改进的分裂步theta方法证明当theta≥3/2时方法是均方A-稳定的。对确定性常微分方程耗散系统证明Lobatto IIIC方法的长时间收敛阶等于其级阶。在确定性延迟方程方面，对带消失延迟的Volterra积分方程和带非消失延迟的Volterra泛函积分方程详细分析配置方法的最优全局和局部超收敛阶；对延迟偏微分方程差分方法获得延迟依赖稳定性结果。在随机延迟方程方面，获得两类theta方法在非全局Lipschitz条件下的强收敛性和稳定性结果；将分裂步theta方法扩展到中立型随机延迟微分方程情形，证明当theta>0.5时方法能保持一类非线性问题的均方指数稳定性。对一类弱奇异Volterra积分方程构造Jacobi谱配置方法，并获得其L∞范数和带权L2范数误差估计；对多项时间分数阶导数的扩散方程和扩散波方程，考虑两类有限元方法，证明方法的无条件稳定性和收敛性。对由带弱奇异核积分定义的非线性分数阶薛定谔方程初值问题，提出同时具有质量和能量守恒性的全隐差分格式和有限元格式、质量守恒的线性化差分格式和有限元格式、以及高维问题质量守恒的分裂算法，并获得它们的无条件收敛性结果。对分数阶金兹堡-朗道方程初值问题，提出有效的差分方法和有限元方法，并证明数值解的有界性和无条件收敛性。本项目已发表期刊论文29篇，其中SCI论文27篇，超过预定计划。所获结果丰富了初值问题的算法理论，在相关领域也具有广泛应用前景。